偏微分方程數(shù)值解

第一章 緒論
1.1 解方程是數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)踐的魅力所在
1.2 微分方程數(shù)值解(科學(xué)計(jì)算) 的必要性
1.2.1 微分方程數(shù)值解(科學(xué)計(jì)算) 的廣泛應(yīng)用
附錄: KdV 方程(1.1) 行波解(1.2) 的導(dǎo)出
習(xí)題1
參考文獻(xiàn)
第二章橢圓型方程的差分方法
2.1 從一個(gè)簡單例子談起
2.2 求解線性代數(shù)方程組的幾類基本迭代法
2.3 求解矩形域上Poisson 方程的五點(diǎn)差分格式
2.3.1 五點(diǎn)差分格式
2.3.2 理論分析
2.3.3 離散后線性方程組的基本求解方法
2.4 求解五點(diǎn)差分格式的快速DST 方法
2.4.1 矩陣方程
2.4.2 矩陣方程的求解
2.4.3 離散正弦變換及應(yīng)用
2.4.4 求解五點(diǎn)差分格式的快速DST 方法和其他方法的計(jì)算效果
2.5 求解矩形域上Poisson 方程的緊致差分格式
2.5.1 兩點(diǎn)邊值問題(2.1) 的緊致差分格式
2.5.2 Poisson 方程緊致差分格式的構(gòu)造
2.5.3 求解Poisson 方程緊致差分格式的快速算法
2.6 求解橢圓型方程一般差分格式的極值原理
2.6.1 橢圓型差分格式的一般形式
2.6.2 極值原理I 與最大模估計(jì)
2.6.3 極值原理II 與最大模估計(jì)
習(xí)題2
參考文獻(xiàn)
第三章發(fā)展方程有限差分法的基本概念和理論
3.1 有限差分法的構(gòu)造
3.1.1 解域的離散
3.1.2 用數(shù)值微分法建立差分格式
3.2 構(gòu)造差分格式的有限體積法
3.3 差分格式的截?cái)嗾`差、相容性和構(gòu)造差分格式的待定系數(shù)法
3.4 差分格式的收斂性與穩(wěn)定性
3.5 判別差分格式穩(wěn)定性的Fourier 方法
3.6 Von-Neumann 條件及在差分格式穩(wěn)定性分析中的應(yīng)用
3.7 差分格式穩(wěn)定性的其他研究方法
附錄差分格式的抽象框架與Lax 等價(jià)性定理
習(xí)題3
參考文獻(xiàn)
第四章雙曲型方程的差分方法
4.1 一階線性常系數(shù)雙曲型方程初值問題
4.2 CFL 條件
4.3 利用特征線構(gòu)造差分格式
4.4 差分格式的耗散、色散與余項(xiàng)效應(yīng)分析
4.4.1 耗散與色散
4.4.2 差分格式的修正偏微分方程(MPDE)
4.4.3 基于修正偏微分方程的耗散和色散分析
4.4.4 基于修正偏微分方程構(gòu)造改進(jìn)的差分格式
4.5 一階變系數(shù)雙曲型方程初值問題
4.5.1 解的存在、唯一性
4.5.2 差分方法及穩(wěn)定性分析
4.6 一階雙曲型方程的初邊值問題
4.7 二階雙曲型方程
附錄 Hadmard 定理的證明
習(xí)題4
參考文獻(xiàn)
第五章拋物型方程的差分
5.1 一維常系數(shù)拋物型方程初值問題
5.2 一維變系數(shù)拋物型方程初值問題
5.3 初邊值問題
5.4 對流擴(kuò)散方程
5.5 Richardson 外推法
5.5.1 外推法與_ 的高效計(jì)算
5.5.2 差分方程的外推法
5.6 二維拋物型方程的差分方法
5.7 算子分裂方法
5.7.1 從一個(gè)簡單例子談起
5.7.2 分裂格式的半群理解
5.7.3 算子分裂方法在拋物型方程差分方法中的應(yīng)用
習(xí)題5
參考文獻(xiàn)
第六章變分方法
6.1 歷史背景
6.2 變分問題解的必要條件
6.3 二次函數(shù)極值問題
6.4 一維區(qū)域上的Sobolev 空間
6.5 一維變分問題
6.6 二維變分問題
6.7 變分問題的近似計(jì)算
附錄 高維Sobolev 空間初步
習(xí)題6
參考文獻(xiàn)
第七章有限元方法的構(gòu)造與理論基礎(chǔ)
7.1 一維橢圓問題的有限元方法——線性元
7.1.1 有限元空間的構(gòu)造
7.1.2 有限元方程組的形成
7.2 一維橢圓問題線性有限元方法的理論分析
7.2.1 可解性分析
7.2.2 收斂性分析
7.3 后驗(yàn)誤差估計(jì)及自適應(yīng)有限元方法
7.3.1 網(wǎng)格剖分的重要性
7.3.2 后驗(yàn)誤差估計(jì)
7.3.3 自適應(yīng)有限元方法
7.4 二維橢圓問題的有限元方法
7.4.1 單元劃分及試探函數(shù)空間的形成
7.4.2 有限元方程的形成
7.4.3 約束條件處理
7.4.4 單元積分的計(jì)算
習(xí)題7
參考文獻(xiàn)
第八章橢圓型方程有限元方法的MATLAB 編程
8.1 模型問題
8.1.1 問題的Galerkin 離散
8.1.2 區(qū)域- 的剖分信息
8.1.3 剛度矩陣的組裝
8.1.4 右端項(xiàng)的組裝
8.1.5 Dirichlet 條件的處理
8.1.6 數(shù)值解的計(jì)算和顯示
8.1.7 求解二維Poisson 問題的完整MATLAB 程序
8.2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)
8.2.1 一維橢圓型方程的求解算例
8.2.2 二維橢圓型方程的求解算例
8.3 MATLAB 網(wǎng)格數(shù)據(jù)與區(qū)域描述
8.3.1 MATLAB 網(wǎng)格數(shù)據(jù)的使用
8.3.2 MATLAB 區(qū)域描述方法
習(xí)題8
參考文獻(xiàn)
第九章二維問題有限元方法的誤差分析
9.1 二維橢圓型方程有限元方法的誤差估計(jì)I
9.1.1 抽象誤差估計(jì)
9.1.2 插值算子誤差估計(jì)-Taylor 展開方法
9.2 二維橢圓型方程有限元方法的誤差估計(jì)II
9.2.1 仿射簇
9.2.2 局部插值算子誤差估計(jì)
9.2.3 二階問題的誤差估計(jì)
9.2.4 L2 范數(shù)誤差估計(jì)
9.2.5 非光滑解的收斂性
9.3 拋物型方程的有限元法
9.3.1 半離散有限元法
9.3.2 誤差分析
9.3.3 全離散格式及其誤差分析
9.3.4 二維拋物型方程的求解算例
9.4 雙曲型方程的有限元法
9.4.1 誤差分析
9.4.2 二維雙曲型方程的求解算例
習(xí)題9
參考文獻(xiàn)