數(shù)書(shū)九章

　　《數(shù)書(shū)九章》全書(shū)分為九章十八卷，一章一類(lèi)，共有“大衍類(lèi)”“天時(shí)類(lèi)”“田域類(lèi)”“測(cè)望類(lèi)”“賦役類(lèi)”“錢(qián)谷類(lèi)”“營(yíng)建類(lèi)”“軍旅類(lèi)”“市物類(lèi)”等九類(lèi)，每一類(lèi)分布在兩卷當(dāng)中。每類(lèi)9問(wèn)，共計(jì)81問(wèn)。全書(shū)內(nèi)容極為豐富，上至天文、星象、歷律、測(cè)候，下至河道、水利、建筑、運(yùn)輸，各種幾何圖形和體積，錢(qián)谷、賦役、市場(chǎng)、牙厘的計(jì)算和互易，充分體現(xiàn)了中國(guó)人的數(shù)學(xué)觀和生活觀。直至今日，《數(shù)書(shū)九章》中記載的許多計(jì)算方法和經(jīng)驗(yàn)常數(shù)，仍有較高參考價(jià)值和實(shí)踐意義。第1類(lèi)為“大衍類(lèi)”，包括卷一、卷二。秦九韶在提出個(gè)問(wèn)題“蓍卦發(fā)微”之后，先用較長(zhǎng)的篇幅介紹了一種新的計(jì)算方法：大衍總數(shù)術(shù)。其中包括對(duì)正整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)等數(shù)字類(lèi)型的定義，以及用這些數(shù)字進(jìn)行求公約數(shù)、化簡(jiǎn)的方法，例如“約奇弗約偶”“復(fù)乘求定”等操作。還包括“大衍求一術(shù)”，即解答一次同余式問(wèn)題的方法，后來(lái)也被稱(chēng)作“中國(guó)剩余定理”，500多年后，德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯才提出類(lèi)似的計(jì)算方法。之后，秦九韶利用大衍術(shù)解決了9個(gè)不同領(lǐng)域的同余問(wèn)題，涉及占卜、歷法、建筑、貨幣換算、糧食交易、交通行程等方面。 第二類(lèi)為“天時(shí)類(lèi)”，包括卷三、卷四。其中的問(wèn)題主要涉及三個(gè)方面。“推氣治歷”“治歷推閏”“治歷演紀(jì)”是有關(guān)歷法方面的計(jì)算問(wèn)題，“綴術(shù)推星”“揆日究微”是將數(shù)學(xué)方法應(yīng)用于天文推算，而“天池測(cè)雨”“圓罌測(cè)雨”“峻積驗(yàn)雪”“竹器驗(yàn)雪”則是利用不同的容器去測(cè)量降雨、降雪的量，涉及容積計(jì)算等方法。 第三類(lèi)為“田域類(lèi)”，包括卷五、卷六。這一類(lèi)的9個(gè)問(wèn)題歸納總結(jié)了各種形狀的田地面積的計(jì)算方法，例如不規(guī)則四邊形、三角形、梯形、蕉葉形、環(huán)形等等，并且靈活處理了各種與田地面積相關(guān)的實(shí)際情況，例如被水沖去一部分后的剩余面積計(jì)算、三人分配田地的面積計(jì)算等。這一類(lèi)的亮點(diǎn)在于兩種先進(jìn)計(jì)算方法的提出：一是已知三角形的三條邊長(zhǎng)，求三角形面積的“三斜求積術(shù)”，這和西方的海倫公式異曲同工；二是求解一元高次方程的“正負(fù)開(kāi)方法”。 第四類(lèi)為“測(cè)望類(lèi)”，包括卷七、卷八。這一類(lèi)主要將《九章算術(shù)》中的勾股術(shù)、重差術(shù)用于實(shí)際問(wèn)題，設(shè)想出若干復(fù)雜情境去測(cè)量山峰的高度和距離、河水的寬度、正方形城墻的邊長(zhǎng)、圓形城墻的直徑和周長(zhǎng)等。在這一類(lèi)中，作者將上一類(lèi)中介紹的正負(fù)開(kāi)方術(shù)加以進(jìn)一步運(yùn)用，求解出了一元10次方程。 第五類(lèi)為“賦役類(lèi)”，包括卷九、卷十。這一類(lèi)中探討了數(shù)學(xué)如何應(yīng)用于古代社會(huì)經(jīng)濟(jì)民生為重要的問(wèn)題之一：徭役賦稅。其中有的問(wèn)題關(guān)于不同等級(jí)的田地如何分配各類(lèi)賦稅（“復(fù)邑修賦”“圍田租畝”），有的問(wèn)題關(guān)于興造工程需要的人力和工作量計(jì)算（“筑埂均功”），有的問(wèn)題關(guān)于不同賦稅內(nèi)容之間的折算（“寬減屯租），等等。在這一類(lèi)中使用的主要是來(lái)自《九章算術(shù)》的衰分、商功、粟米等計(jì)算方法及其拓展，所進(jìn)行的主要是按比例分配、折算的數(shù)學(xué)方法操作。 第六類(lèi)為“錢(qián)谷類(lèi)”，包括卷十一、卷十二。這一類(lèi)主要關(guān)注經(jīng)濟(jì)生活中的貨幣和糧食問(wèn)題。例如不同貨幣之間的折算，不同地區(qū)米價(jià)的比較，囤米空間的尺寸計(jì)算，運(yùn)送糧食的運(yùn)費(fèi)計(jì)算，錢(qián)庫(kù)本金和利息的計(jì)算，以隨機(jī)抽樣法對(duì)糧食中的雜質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，等等。這一類(lèi)在“賦役類(lèi)”的基礎(chǔ)上增加了《九章算術(shù)》中少?gòu)V、均輸、盈不足等方法的運(yùn)用。 第七類(lèi)為“營(yíng)建類(lèi)”，包括卷十三、卷十四。這一類(lèi)是秦九韶本人非常感興趣的建筑問(wèn)題，所營(yíng)造的對(duì)象包括城墻、樓櫓、石壩、河渠、清臺(tái)、地基等，所計(jì)算的問(wèn)題除了建筑的尺寸，還有所需各項(xiàng)材料以及人力的數(shù)量。在計(jì)算過(guò)程中，主要使用了《九章算術(shù)》中的商功、均輸、少?gòu)V以及方田等方法。 第八類(lèi)為“軍旅類(lèi)”，包括卷十五、卷十六。這一類(lèi)的9個(gè)問(wèn)題都與軍事有關(guān)，其中“計(jì)立方營(yíng)”“方變銳陣”“計(jì)布圓陣”“圓營(yíng)敷布”“望知敵眾”是計(jì)算排兵布陣的不同形狀和相應(yīng)的人數(shù)分配，“均敷徭役”是關(guān)于如何按比例派遣士兵：“先計(jì)軍程”計(jì)算行軍的路程，“軍器功程”“計(jì)造軍衣”則是關(guān)于兵器、軍服的制造問(wèn)題。這一類(lèi)仍然使用《九章算術(shù)》中的計(jì)算方法并有所拓展，關(guān)于陣法的計(jì)算與幾何問(wèn)題有關(guān)，需要使用勾股術(shù)等，而其他問(wèn)題則使用了商功、均輸、粟米、盈不足等方法。 第九類(lèi)為“市物類(lèi)”，包括卷十七、卷十八。“市物”，即交易貨物。這一類(lèi)中的問(wèn)題均與商業(yè)買(mǎi)賣(mài)有關(guān)，例如對(duì)物價(jià)、資本、利息、租金等的計(jì)算。這一類(lèi)中使用了來(lái)自《九章算術(shù)》的方田、衰分、粟米、方程等計(jì)算方法，其中對(duì)方程法進(jìn)行了拓展，得到求解線(xiàn)性方程組的“互乘相消法”。在歐洲，早是公元1559年法國(guó)數(shù)學(xué)家布丟（約1490—1570年）開(kāi)始用不很完整的加減消元法解一次方程組，比秦九韶晚了312年，且理論上的完整性也遠(yuǎn)遜于秦九韶。 本書(shū)的體例為：“問(wèn)”：描述情景，提出問(wèn)題；“答”：給出問(wèn)題的答案；“術(shù)”：描述計(jì)算方法；“草”：給出詳細(xì)的演算過(guò)程。 為了使讀者能夠更清晰地理解原文，注譯者對(duì)原文中可能存在的疑難字詞作了“注釋”，并在每段原文的后面附上“譯文”，在“術(shù)”的譯文后面附上“譯解”，在“草”的譯文后面附上“術(shù)解”，使用精確而簡(jiǎn)潔的現(xiàn)代漢語(yǔ)和現(xiàn)代數(shù)學(xué)的表述方式對(duì)原文加以翻譯和解讀。其中有的問(wèn)題“術(shù)”“草”較長(zhǎng)，拆分為幾段，各自附上注解、譯文、譯解或術(shù)解。 相較于《九章算術(shù)》等前人的數(shù)學(xué)著作，“草”是《數(shù)書(shū)九章》的一大亮點(diǎn)。在《數(shù)書(shū)九章》中，秦九韶不厭其煩地給出了每道題目的具體演算過(guò)程，其中計(jì)算步驟和得數(shù)一目了然，并配有算籌圖。譯者在“術(shù)解”時(shí)，均將之化作今日讀者所習(xí)慣的阿拉伯?dāng)?shù)字和數(shù)學(xué)符號(hào)組成的算式，以利閱讀和理解。

　　作者簡(jiǎn)介：秦九韶（1208年－1268年），字道古，中國(guó)古代杰出的數(shù)學(xué)家。南宋嘉定元年（1208年），生于普州（今四川安岳），紹定四年（1231年）中進(jìn)士，先后在湖北、安徽、江蘇、浙江等地為官。從政之余，他潛心研究數(shù)學(xué)。淳祐七年（1247年），他利用為母親守孝的三年時(shí)間，把長(zhǎng)期積累的數(shù)學(xué)知識(shí)和研究所得編撰成書(shū)，這就是中國(guó)數(shù)學(xué)史上有重要地位的《數(shù)術(shù)大略》，即《數(shù)書(shū)九章》。譯者簡(jiǎn)介： 宋璟瑤，女，上海海事大學(xué)外國(guó)語(yǔ)學(xué)院講師。“漢語(yǔ)篇章主位信息與習(xí)得研究”獲國(guó)家社會(huì)科學(xué)基金后期資助項(xiàng)目資助。