數(shù)值泛函及其應用

目錄
《信息與計算科學叢書》序
前言
第1章 預備知識 1
1.1 泛函分析初識 1
1.2 集合、元素 1
1.3 空間與映射 2
1.4 幾個基礎(chǔ)的拓撲概念 3
1.5 坐標與空間 4
第2章 距離空間與壓縮映像原理 5
2.1 距離空間 5
2.1.1 定義和例 5
2.1.2 收斂概念和完備性 7
2.1.3 距離空間上的映射 12
2.2 壓縮映像原理及應用 13
2.2.1 定義和例 14
2.2.2 壓縮映像原理 14
2.3 壓縮映像原理與迭代法 16
2.3.1 壓縮算子與迭代法 16
2.3.2 壓縮算子的判定 18
2.3.3 兩種常用的迭代法 21
2.4 壓縮映像原理在微分方程中的應用 26
2.5 壓縮映像原理在積分方程中的應用 28
第3章 Banach 空間及線性逼近 33
3.1 定義和實例 33
3.1.1 線性空間的定義 33
3.1.2 賦范線性空間的定義 33
3.1.3 例 34
3.1.4 Banach 空間 35
3.2 按范數(shù)收斂 35
3.2.1 定義 36
3.2.2 性質(zhì) 36
3.3 線性算子和線性泛函 37
3.3.1 算子 37
3.3.2 線性泛函 40
3.4 Banach 空間中的各種收斂 42
3.4.1 元素序列的收斂性 42
3.4.2 算子序列的收斂性 43
3.4.3 泛函序列的收斂性 43
3.4.4 幾個結(jié)論 44
3.5 Banach 空間中的線性逼近 44
3.5.1 線性無關(guān)和線性表示 44
3.5.2 Banach 空間中的線性逼近 45
第4章 Hilbert 空間及投影逼近 48
4.1 定義和例 48
4.1.1 內(nèi)積空間的定義 48
4.1.2 內(nèi)積的性質(zhì) 49
4.1.3 Hilbert 空間 51
4.1.4 例 51
4.2 正交分解與投影定理 52
4.2.1 正交的概念與正交分解 52
4.2.2 投影定理 53
4.3 H 空間中的廣義 Fourier 分析 53
4.3.1 正交系、規(guī)范正交系 54
4.3.2 H 空間中的廣義 Fourier 級數(shù) 55
4.4 函數(shù)空間中的最佳逼近 57
4.4.1 函數(shù)空間中的投影定理 58
4.4.2 函數(shù)逼近的算例 59
4.5 各種數(shù)值逼近的泛函背景 67
4.5.1 坐標、空間與量化 67
4.5.2 轉(zhuǎn)化與逼近 68
4.5.3 基的選取和構(gòu)造 69
4.5.4 常用的子空間 70
第5章 Fourier 分析及其應用 72
5.1 三角基的正交性 72
5.2 Fourier 級數(shù)和 Fourier 積分 73
5.2.1 Fourier 級數(shù) 73
5.2.2 Fourier 積分 75
5.3 Fourier 變換和非周期函數(shù)的頻譜 78
5.3.1 Fourier 變換 78
5.3.2 非周期函數(shù)的頻譜 78
5.4 離散 Fourier 變換和快速 Fourier 變換 84
5.4.1 離散 Fourier 變換 84
5.4.2 快速 Fourier 變換 85
5.5 應用算例 86
5.5.1 信號頻率確定 86
5.5.2 ECG 信號去噪 87
第6章 變分理論及其應用 90
6.1 變分問題簡介 90
6.2 變分原理 92
6.3 變分直接法 95
6.3.1 泛函的極小化序列 95
6.3.2 Ritz 法 95
6.3.3 Galerkin 法 98
6.3.4 基函數(shù)的選取 99
6.4 變分法的革新和前景 101
6.4.1 變分與有限元 101
6.4.2 變分 PDE 與圖像處理 102
6.5 TV 變分模型的改進及應用 102
6.5.1 TV 變分模型在圖像恢復中的研究現(xiàn)狀 103
6.5.2 基于 TV 和各向異性擴散方程的圖像恢復模型 104
6.5.3 “純粹的”各向異性擴散方程 104
6.5.4 新模型的提出 105
6.5.5 新模型的離散格式 106
6.5.6 應用仿真 107
第7章 有限元分析及其應用 109
7.1 有限元法簡介 109
7.1.1 有限元的思想起源和發(fā)展 109
7.1.2 有限元的變分原理 109
7.1.3 Galerkin 有限元 110
7.2 有限元基的幾何描述 111
7.3 有限元法的解題步驟 113
7.4 基于拓撲有向圖的有限元方法 119
7.4.1 電磁場與有向圖 119
7.4.2 場的線性化 120
7.4.3 數(shù)學模型 122
7.4.4 算例 123
7.5 電機磁場的有限元分析 126
7.5.1 有限元法 126
7.5.2 計算模型 126
7.5.3 有限元解 128
7.5.4 解的討論 134
第8章 小波分析及其應用 136
8.1 小波分析與 Fourier 分析 136
8.2 小波基與多分辨分析 138
8.3 小波級數(shù)與小波變換 140
8.3.1 小波級數(shù) 140
8.3.2 小波變換 141
8.4 Mallat 算法 143
8.4.1 基本思想 143
8.4.2 Mallat 分解算法 145
8.4.3 Mallat 重構(gòu)算法 146
8.4.4 Mallat 算法的矩陣形式 146
8.5 小波分析在信號去噪中的應用 147
8.5.1 小波模極大值去噪方法 148
8.5.2 基于小波系數(shù)區(qū)域相關(guān)的閾值濾波方法 150
8.5.3 小波閾值去噪 152
本書參考文獻 159
附錄 A 變分、網(wǎng)絡與有限元 162
A.1 古典變分的危機 162
A.2 差分網(wǎng)絡法的特點 165
A.3 有限元法的優(yōu)點 168
A.4 算例 174
參考文獻 178
附錄 B Besov 空間中的變分模型 179
B.1 研究背景 179
B.1.1 Besov 空間的描述 179
B.1.2 變分 PDE 在圖像分解中的研究現(xiàn)狀 180
B.2 一類基于 Besov 空間與負 Hilbert-Sobolev 空間的變分模型 183
B.2.1 主要思想 183
B.2.2 新變分模型的極小化 183
B.2.3 新變分模型的解與小波閾值之間的關(guān)系 184
B.2.4 實驗仿真 189
B.3 基于投影的圖像分解變分模型 192
B.3.1 新變分模型的極小化 192
B.3.2 小波閾值與投影之間的關(guān)系 196
B.3.3 實驗仿真 199
B.4 一類基于 Besov 空間與齊次 Besov 空間的變分模型 202
B.4.1 (Bs1，1，E) 模型 203
B.4.2 (|u|pBsp，p ， ∥v∥E) 模型 205
B.4.3 (|u|Bsp，p ， ∥v∥E) 模型 207
B.4.4 算法 208
B.4.5 算法的收斂性分析 209
B.4.6 實驗仿真 210
B.5 小結(jié) 216
參考文獻 217
附錄 C 基于波原子變換的圖像去噪算法 220
C.1 引言 220
C.2 波原子理論 221
C.2.1 波原子的定義 221
C.2.2 波原子的構(gòu)造及變換系數(shù) 221
C.3 波原子在圖像處理中的應用 224
C.3.1 波原子硬閾值去噪算法 224
C.3.2 仿真實驗與分析 224
C.4 結(jié)合全變差最小的波原子去噪算法 228
C.4.1 全變差正則化模型 229
C.4.2 結(jié)合全變差最小的波原子去噪算法 229
C.4.3 仿真實驗與分析 230
C.5 結(jié)合循環(huán)平移的波原子去噪算法 233
C.5.1 循環(huán)平移思想 233
C.5.2 結(jié)合循環(huán)平移的波原子去噪算法 234
C.5.3 仿真實驗與分析 234
C.6 小結(jié) 237
參考文獻 237
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