微分方程的李群方法

目 錄
緒論.1
0.1 李群方法的基本介紹 1
0.2 李群方法的基本作用 3
第 1 章 李群的基本概念與基本理論 4
1.1 李群的基本概念 4
1.1.1 李群的定義 4
1.1.2 無窮小變換 6
1.1.3 李**基本定理與無窮小生成元 7
1.1.4 正則坐標(biāo) 14
1.2 微分方程延拓的無窮小生成元 16
1.2.1 常微分方程情形 16
1.2.2 偏微分方程情形 21
1.3 微分方程的不變解與不變性準(zhǔn)則 32
1.3.1 微分方程的不變解 33
1.3.2 常微分方程的不變性準(zhǔn)則.33
1.3.3 偏微分方程的不變性準(zhǔn)則.36
1.4 李第二、第三基本定理與李代數(shù) 40
第 2 章 整數(shù)階微分方程的不變解與精確解 44
2.1 常微分方程在正則坐標(biāo)下的精確解.44
2.1.1 一階常微分方程情形 .44
2.1.2 二階常微分方程情形 .46
2.2 幾類偏微分方程的不變解與精確解.52
2.2.1 (1+1) 維熱方程情形 52
2.2.2 組合 KdV-mKdV 方程情形 55
2.2.3 (3+1) 維 Yu-Toda-Sasa-Fukuyama 方程情形.60
2.2.4 廣義 Kaup-Boussinesq 方程組情形 65
2.2.5 非線性廣義 Zakharov 方程組情形.71
第 3 章 分?jǐn)?shù)階微分方程的李群理論 77
3.1 Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的基本概念.77
3.1.1 特殊函數(shù) 77
3.1.2 Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義和性質(zhì) 78
3.2 幾類分?jǐn)?shù)階微分方程的不變性準(zhǔn)則.79
3.2.1 分?jǐn)?shù)階常微分方程情形.79
3.2.2 時間分?jǐn)?shù)階偏微分方程情形 84
3.2.3 時間分?jǐn)?shù)階偏微分方程組情形 91
3.3 幾類分?jǐn)?shù)階微分方程的李群分析 93
3.3.1 分?jǐn)?shù)階 Riccati 方程情形 93
3.3.2 線性時間分?jǐn)?shù)階變系數(shù)偏微分方程情形 95
3.3.3 非線性時間分?jǐn)?shù)階對流擴散方程情形 99
3.3.4 非線性時間分?jǐn)?shù)階反應(yīng)對流擴散方程情形 103
3.3.5 時間分?jǐn)?shù)階耦合 It^o 方程組的不變解 111
第 4 章 偏微分方程守恒向量的構(gòu)造 115
4.1 整數(shù)階偏微分方程的共軛性概念與守恒向量定理 115
4.1.1 共軛性概念 115
4.1.2 守恒向量定理 117
4.2 兩類整數(shù)階非線性偏微分方程的守恒向量構(gòu)造 121
4.2.1 拓展的 (2+1) 維量子 Zakharov-Kuznetsov 方程情形 121
4.2.2 變系數(shù) Davey-Stewartson 方程組情形 124
4.3 時間分?jǐn)?shù)階偏微分方程的共軛性概念與守恒向量定理 130
4.3.1 共軛性概念 131
4.3.2 守恒向量定理 133
4.4 幾類時間分?jǐn)?shù)階偏微分方程的守恒向量構(gòu)造 134
4.4.1 時間分?jǐn)?shù)階耦合 It^o 方程組情形 134
4.4.2 時間分?jǐn)?shù)階變系數(shù)耦合 Burgers 方程組情形.136
4.4.3 時間分?jǐn)?shù)階廣義 Hirota-Satsuma 耦合 KdV 方程組情形.138
4.4.4 時間分?jǐn)?shù)階耦合 Hirota 方程組情形 140
第 5 章 偏微分方程基于守恒向量的精確解求解 145
5.1 具有外部源的各向異性非線性擴散方程的精確解 145
5.1.1 非線性自共軛 145
5.1.2 守恒向量約化 148
5.1.3 穩(wěn)態(tài)及非穩(wěn)態(tài)精確解求解 152
5.1.4 修正守恒律下的精確解.157
5.2 具有外部源的各向異性波動方程的精確解 158
5.2.1 非線性自共軛 158
5.2.2 守恒向量約化 161
5.2.3 三角函數(shù)型精確解求解.164
5.3 一類非線性色散演化方程組的精確解 165
5.3.1 非線性自共軛 166
5.3.2 守恒向量構(gòu)造 167
5.3.3 精確解求解 169
第 6 章 李群方法的其他應(yīng)用 172
6.1 雙平方根利率期限結(jié)構(gòu)方程的李群分析.172
6.1.1 無窮小生成元 173
6.1.2 不變解求解 173
6.2 Novikov 方程基于不變解的單尖峰孤子解 177
6.2.1 方程的李群分析 177
6.2.2 單尖峰孤子解 179
6.3 分?jǐn)?shù)階微分{積分方程的李群分析.182
6.3.1 不變性準(zhǔn)則 182
6.3.2 無窮小生成元 185
6.3.3 基于核函數(shù)和自由項的李群分析 188
參考文獻(xiàn).191
附錄 96
附錄 A 無窮小生成元的 Maple 實現(xiàn) 196
A.1 組合 KdV-mKdV 方程情形 196
A.2 非線性廣義 Zakharov 方程組情形.196
附錄 B Bernoulli 型輔助方程法 197
附錄 C tanh 函數(shù)型輔助方程法.198
附錄 D 分?jǐn)?shù)階無窮小生成元相關(guān)推導(dǎo) 199