概率論（第三版）

目錄
序
第三版前言
第一版前言
第 1 章 預備知識 1
¤1.1 隨機現象和隨機事件 1
1.2 隨機事件的運算 3
¤1.3 古典概型 9
¤1.4 古典概型的一些例子 17
1.5 幾何概型 24
¤1.6 絮話概率論 31
第 2 章 初等概率論 35
2.1 概率論的公理化體系 35
2.1.1 什么是隨機事件 35
2.1.2 事件 . 域 36
2.1.3 關于事件 . 域的一些討論 37
2.1.4 什么是概率 40
2.1.5 概率空間的例子 44
2.2 利用概率性質解題的一些例子 46
2.3 條件概率 55
2.3.1 條件概率的初等概念和乘法定理 56
2.3.2 全概率公式 62
2.3.3 Bayes 公式 70
2.4 一些應用 74
2.4.1 求概率的遞推方法 74
2.4.2 秘書問題 75
2.4.3 直線上的隨機游動 76
2.5 事件的獨立性 83
2.5.1 兩個事件的獨立性 83
2.5.2 多個事件的獨立性 86
2.5.3 獨立場合下的概率計算 90
第 3 章 隨機變量 95
3.1 初識隨機變量 95
3.1.1 隨機變量與隨機試驗 95
3.1.2 隨機事件的示性函數是隨機變量 99
3.1.3 Bernoulli 隨機變量 101
3.1.4 Bernoulli 隨機變量應用舉例 104
3.2 與 Bernoulli 試驗有關的隨機變量 108
3.2.1 多重 Bernoulli 試驗中的成功次數 108
3.2.2 Bernoulli 試驗中等待成功所需的試驗次數 112
¤3.2.3 Pascal 分布 (負二項分布) 117
3.2.4 區(qū)間 [0; 1] 上的均勻分布 120
3.3 隨機變量與分布函數 123
3.3.1 隨機變量及其分布函數 123
3.3.2 分布函數與隨機變量 125
3.3.3 分布函數的類型 128
3.3.4 Riemann-Stieltjes 積分與期望方差 132
3.4 Poisson 分布與指數分布 135
3.4.1 Poisson 定理 135
3.4.2 Poisson 分布的性質， 隨機和 139
3.4.3 指數分布 140
3.4.4 指數分布與 Poisson 過程的關系 142
3.5 正態(tài)分布 146
3.5.1 正態(tài)分布的定義與性質 146
3.5.2 正態(tài)分布的高度集中性 150
3.6 隨機變量的若干變換及其分布 153
¤3.6.1 隨機變量的截尾 153
¤3.6.2 與連續(xù)型隨機變量有關的兩種變換 155
3.6.3 隨機變量的初等函數 157
¤3.7 絮話正態(tài)分布 162
3.7.1 正態(tài)分布的來歷 162
3.7.2 6. 原則 165
3.7.3 高考中的標準分 166
第 4 章 隨機向量 168
4.1 隨機向量的概念 168
4.1.1 隨機向量的定義 168
4.1.2 多維分布 169
4.2 邊緣分布與條件分布 173
4.2.1 邊緣分布與條件分布的概念 174
4.2.2 離散型場合 175
4.2.3 連續(xù)型場合: 邊緣分布與邊緣密度 180
4.2.4 連續(xù)型場合: 條件分布與條件密度 181
4.2.5 隨機變量的獨立性 184
4.3 常見的多維連續(xù)型分布 190
4.3.1 多維均勻分布 190
4.3.2 二維正態(tài)分布 191
4.4 隨機向量的函數 193
4.4.1 隨機變量的和 194
4.4.2 兩個隨機變量的商 198
4.4.3 多維連續(xù)型隨機向量函數的一般情形 199
¤4.4.4 最大值和最小值 204
¤4.4.5 隨機變量的隨機加權平均 207
¤4.4.6 順序統(tǒng)計量 208
4.4.7 紀錄值 212
第 5 章 數字特征與特征函數 216
5.1 矩與分位數 216
5.1.1 對于數學期望的進一步認識 216
5.1.2 數學期望的性質 219
5.1.3 隨機變量的矩 223
5.1.4 方差 227
5.1.5 中位數和 p 分位數 231
¤5.2 條件期望與條件方差 235
5.2.1 條件數學期望及其應用 236
5.2.2 連續(xù)情形下的全概率公式 244
5.2.3 數學期望的一些其他應用 247
¤5.2.4 條件方差及其應用 250
¤5.2.5 隨機足標和的期望和方差 252
5.3 協(xié)方差和相關系數 255
5.3.1 協(xié)方差 256
5.3.2 相關系數 257
5.3.3 隨機向量的數字特征 264
5.4 特征函數 266
5.4.1 特征函數的定義 267
5.4.2 特征函數的性質 269
5.4.3 關于特征函數的一些討論 273
5.4.4 特征函數的幾個初步應用 278
5.4.5 多元特征函數 281
5.5 多維正態(tài)分布 283
5.5.1 多維正態(tài)分布的定義 284
5.5.2 多維正態(tài)分布定義的推廣 286
5.5.3 多維正態(tài)分布的性質 287
第 6 章 極限定理 293
6.1 依概率收斂與平均收斂 293
6.1.1 依概率收斂 293
6.1.2 平均收斂 299
6.2 依分布收斂 306
6.2.1 依分布收斂的概念 306
6.2.2 連續(xù)性定理及其應用 309
6.3 弱大數律和中心極限定理 314
6.3.1 弱大數律 315
6.3.2 Slutsky 引理 317
6.3.3 中心極限定理 319
6.3.4 獨立不同分布場合下的中心極限定理 327
6.3.5 關于中心極限定理成立條件的進一步討論 336
6.3.6 多維場合下的中心極限定理 340
6.4 a.s. 收斂 344
6.4.1 a.s. 收斂的概念 344
6.4.2 無窮多次發(fā)生 347
6.4.3 若干引理與不等式 352
6.5 強大數律 356
6.5.1 獨立隨機變量級數的 a.s. 收斂性 356
6.5.2 強大數律 361
參考文獻 367
附錄 368
¤A.1 一些計數模式 368
A.1.1 關于排列組合計數模式的再認識 368
A.1.2 多組組合 369
A.1.3 分球入盒問題 370
A.1.4 可重排列和可重組合 373
A.1.5 大間距組合 373
¤A.2 一些概念和一些定理的證明 377
A.2.1 Poisson 過程初談 377
A.2.2 反演公式與唯一性定理 379
A.2.3 連續(xù)性定理 382
¤A.3 統(tǒng)計學中的三大分布 387
A.3.1 .2 分布 388
A.3.2 t 分布 390
A.3.3 F 分布 391
A.3.4 三大分布在統(tǒng)計中的重要性 392
附表 I 常用分布表 395
附表 II Poisson 分布數值表 398
附表 III 標準正態(tài)分布數值表 400