復變函數

目錄
前言
第1章 復數與復變函數 1
1.1 復數及其運算 1
1.1.1 復數及其代數運算 1
1.1.2 復數的幾何表示 3
1.1.3 復數的冪與方根 7
1.2 復平面上的點集 10
1.3 復變函數 13
1.3.1 復變函數的定義 13
1.3.2 三個特殊的映射 13
1.3.3 復變函數的極限與連續(xù)性 15
習題1 17
第2章 解析函數 20
2.1 解析函數基礎 20
2.1.1 導數與微分 20
2.1.2 解析函數的概念 22
2.1.3 Cauchy-Riemann 條件 23
2.2 初等函數 27
2.2.1 指數函數 28
2.2.2 對數函數 29
2.2.3 冪函數 31
2.2.4 三角函數 31
2.2.5 反三角函數 33
2.2.6 支點 34
習題2 37
第3章 復變函數的積分理論 40
3.1 復變函數的積分 40
3.1.1 積分的定義 40
3.1.2 積分存在的充分條件及積分的計算方法 41
3.1.3 積分的性質 45
3.2 Cauchy定理及其應用 46
3.2.1 Cauchy定理 46
3.2.2 Cauchy定理的推廣 51
3.2.3 原函數與不定積分 52
3.3 Cauchy積分公式及其應用 55
3.3.1 Cauchy積分公式 55
3.3.2 高階導數公式 56
3.3.3 解析函數的一些性質 59
3.4 調和函數 64
3.4.1 調和函數的概念 64
3.4.2 調和函數的性質 67
習題3 69
第4章 復變函數的級數理論 72
4.1 一般理論 72
4.1.1 復數項級數 72
4.1.2 復變函數項級數 77
4.1.3 冪級數 80
4.2 Taylor級數 84
4.2.1 解析函數的Taylor展開式 84
4.2.2 零點 90
4.2.3 解析函數的唯一性 91
4.3 Laurent級數 92
4.3.1 解析函數的Laurent展開式 92
4.3.2 孤立奇點 97
4.3.3 解析函數在無窮遠點的性質 102
4.3.4 整函數與亞純函數 104
習題4 106
第5章 復變函數的留數理論 109
5.1 留數定理及其推廣 109
5.1.1 留數的定義 109
5.1.2 留數定理 110
5.1.3 留數的計算方法 111
5.1.4 無窮遠點的留數 117
5.2 留數在積分計算中的應用 118
5.2.1 形如*R(cosθ，sinθ)dθ的積分 118
5.2.2 形如*R(x)dx的積分 121
5.2.3 形如*R(x)e*dx(a>0)的積分 124
5.3 輻角原理與Rouche定理 129
5.3.1 輻角原理 129
5.3.2 Rouche定理 132
習題5 133
第6章 復變函數的幾何理論 137
6.1 共形映射 137
6.1.1 單葉解析函數的性質 137
6.1.2 解析函數的導數及其幾何意義 140
6.1.3 共形映射的概念 142
6.2 分式線性映射 143
6.2.1 分式線性映射的概念 143
6.2.2 共形性 145
6.2.3 保圓性 147
6.2.4 保交比性 148
6.2.5 保對稱性 150
6.2.6 兩個特殊的分式線性映射 151
6.3 Riemann定理 153
6.3.1 大模原理 153
6.3.2 Schwarz引理 154
6.3.3 Riemann定理與邊界對應定理 154
6.4 解析開拓 157
6.4.1 解析開拓的概念 157
6.4.2 解析開拓的方法 158
習題6 163
參考文獻 166