譯者序
前言
第一部分 一元實變量函數的Lebesgue積分
第0章 集合、映射與關系的預備知識2
0.1 集合的并與交2
0.2 集合間的映射3
0.3 等價關系、選擇公理以及Zorn引理3
第1章 實數集：集合、序列與函數6
1.1 域、正性以及完備性公理6
1.2 自然數與有理數9
1.3 可數集與不可數集11
1.4 實數的開集、閉集和Borel集13
1.5 實數序列17
1.6 實變量的連續(xù)實值函數21
第2章 Lebesgue測度25
2.1 引言25
2.2 Lebesgue外測度26
2.3 Lebesgue可測集的σ代數29
2.4 Lebesgue可測集的外逼近和內逼近33
2.5 可數可加性、連續(xù)性以及Borel-Cantelli引理36
2.6 不可測集39
2.7 Cantor集和Cantor-Lebesgue函數41
第3章 Lebesgue可測函數45
3.1 和、積與復合45
3.2 序列的逐點極限與簡單逼近49
3.3 Littlewood的三個原理、Egoroff定理以及Lusin定理53
第4章 Lebesgue積分56
4.1 Riemann積分56
4.2 有限測度集上的有界可測函數的Lebesgue積分58
4.3 非負可測函數的Lebesgue積分65
4.4 一般的Lebesgue積分71
4.5 積分的可數可加性與連續(xù)性75
4.6 一致可積性：Vitali收斂定理77
第5章 Lebesgue積分：深入課題81
5.1 一致可積性和緊性：一般的Vitali收斂定理81
5.2 依測度收斂83
5.3 Riemann可積與Lebesgue可積的刻畫85
第6章 微分與積分89
6.1 單調函數的連續(xù)性89
6.2 單調函數的可微性：Lebesgue定理91
6.3 有界變差函數：Jordan定理96
6.4 絕對連續(xù)函數99
6.5 導數的積分：微分不定積分103
6.6 凸函數108
第7章 Lp空間：完備性與逼近112
7.1 賦范線性空間112
7.2 Young、Hlder與Minkowski不等式115
7.3 Lp是完備的：Riesz-Fischer定理119
7.4 逼近與可分性124
第8章 Lp空間：對偶與弱收斂128
8.1 關于Lp（1≤p＜∞）的對偶的Riesz表示定理128
8.2 Lp中的弱序列收斂134
8.3 弱序列緊性141
8.4 凸泛函的最小化144
第二部分 抽象空間：度量空間、拓撲空間、Banach空間和Hilbert空間
第9章 度量空間：一般性質152
9.1 度量空間的例子152
9.2 開集、閉集以及收斂序列155
9.3 度量空間之間的連續(xù)映射158
9.4 完備度量空間160
9.5 緊度量空間164
9.6 可分度量空間169
第10章 度量空間：三個基本定理171
10.1 Arzel-Ascoli定理171
10.2 Baire范疇定理175
10.3 Banach壓縮原理178
第11章 拓撲空間：一般性質183
11.1 開集、閉集、基和子基183
11.2 分離性質186
11.3 可數性與可分性188
11.4 拓撲空間之間的連續(xù)映射189
11.5 緊拓撲空間192
11.6 連通的拓撲空間195
第12章 拓撲空間：三個基本定理197
12.1 Urysohn引理和Tietze延拓定理197
12.2 Tychonoff乘積定理201
12.3 Stone-Weierstrass定理204
第13章 Banach空間之間的連續(xù)線性算子209
13.1 賦范線性空間209
13.2 線性算子211
13.3 緊性喪失：無窮維賦范線性空間214
13.4 開映射與閉圖像定理217
13.5 一致有界原理222
第14章 賦范線性空間的對偶224
14.1 線性泛函、有界線性泛函以及弱拓撲224
14.2 Hahn-Banach定理229
14.3 自反Banach空間與弱序列收斂性234
14.4 局部凸拓撲向量空間237
14.5 凸集的分離與Ｍazur定理240
14.6 Krein-Milman定理244
第15章 重新得到緊性：弱拓撲247
15.1 Helly定理的Alaoglu推廣247
15.2 自反性與弱緊性：Kakutani定理249
15.3 緊性與弱序列緊性：Eberlein-mulian定理250
15.4 弱拓撲的度量化252
第16章 Hilbert空間上的連續(xù)線性算子255
16.1 內積和正交性255
16.2 對偶空間和弱序列收斂259
16.3 Bessel不等式與規(guī)范正交基261
16.4 線性算子的伴隨與對稱性264
16.5 緊算子268
16.6 Hilbert-Schmidt定理270
16.7 Riesz-Schauder定理：Fredholm算子的刻畫273
第三部分 測度與積分：一般理論
第17章 一般測度空間：性質與構造280
17.1 測度與可測集280
17.2 帶號測度：Hahn與Jordan分解284
17.3 外測度誘導的Carathéodory測度288
17.4 外測度的構造291
17.5 將預測度延拓為測度：Carathéodory-Hahn定理293
第18章 一般測度空間上的積分299
18.1 可測函數299
18.2 非負可測函數的積分304
18.3 一般可測函數的積分310
18.4 Radon-Nikodym定理317
18.5 Nikodym度量空間：Vitali-Hahn-Saks定理323
第19章 一般的Lp空間：完備性、對偶性和弱收斂性328
19.1 Lp(X,μ)（１≤ｐ≤∞）的完備性328
19.2 關于Lp(X,μ)（1≤ｐ
19.3 關于L∞(X,μ)的對偶的Kantorovitch表示定理336
19.4 Lp(X,μ)（１＜ｐ＜∞）的弱序列緊性339
19.5 L1(X,μ)的弱序列緊性：Dunford-Pettis定理341
第20章 特定測度的構造346
20.1 乘積測度：Fubini與Tonelli定理346
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