抽象代數(shù)基礎(chǔ)

目錄
前言
第1章 集合論的基本概念 1
1.1 集合上的偏序與Zorn引理 1
1.1.1 涉及集合的若干基本事項(xiàng)的回顧和羅列 1
1.1.2 偏序集、Zorn引理等三個(gè)等價(jià)公理及其應(yīng)用 2
1.2 集合間的映射和集合上的等價(jià)關(guān)系 6
1.2.1 涉及映射(變換)的若干基本事項(xiàng)的回顧和羅列 6
1.2.2 集合上的等價(jià)關(guān)系和集合的分劃 7
1.2.3 集合到集合的映射與集合上的等價(jià)關(guān)系 10
1.3 T(A)上四種基本的等價(jià)關(guān)系 10
習(xí)題1 14
第2章 抽象代數(shù)的基本概念 15
2.1 從已知代數(shù)概念的“溫故知新”入手 15
2.2 半群與群，及其間的同態(tài)和同構(gòu)映射 17
2.2.1 雙消半群與群 17
2.2.2 半群(及半群同態(tài)和同構(gòu))與變換半群 22
2.2.3 群(及群同態(tài)和同構(gòu))與置換群 28
2.2.4 Abel群與循環(huán)群 38
2.3 環(huán)與域，及其間的同態(tài)和同構(gòu)映射 41
2.3.1 環(huán)(及環(huán)同態(tài)和同構(gòu))與Abel群的自同態(tài)環(huán) 41
2.3.2 整環(huán)，除環(huán)與域 47
2.3.3 環(huán)的特征 50
2.4 同余與同態(tài) 53
2.4.1 半群(群、環(huán))上的同余與商半群(商群、剩余類(lèi)環(huán))53
2.4.2 群(環(huán))關(guān)于子群(左、右理想)的左、右陪集(左、右剩余類(lèi))分劃與群(環(huán))上的左、右同余 56
2.4.3 群(環(huán))的正規(guī)子群(理想)與群(環(huán))上的同余 60
2.4.4 群(環(huán))的同態(tài)基本定理，兩個(gè)同構(gòu)定理 66
2.5 群，環(huán)的(外)直積與內(nèi)直積 70
習(xí)題2 73
第3章 Green關(guān)系與正則半群 78
3.1 半群上的Green關(guān)系和半群的D-類(lèi)的結(jié)構(gòu) 78
3.1.1 Green關(guān)系 78
3.1.2 D-類(lèi)的結(jié)構(gòu) 83
3.2 正則D-類(lèi)和正則半群 85
3.2.1 正則D-類(lèi) 85
3.2.2 正則半群 89
3.3 完全正則半群 95
3.4 夾心集與純正半群 99
3.5 逆半群 102
3.6 Clifford半群 106
習(xí)題3 108
第4章 群(特別地，有限群)110
4.1 群與左(右)群 110
4.2 幾類(lèi)特殊的群 114
4.2.1 單群 114
4.2.2 可解群 116
4.2.3 群的自同構(gòu)群 121
4.3 群作用與有限群的Sylow定理 124
4.3.1 群作用——從線性空間的定義講起 124
4.3.2 有限群的Sylow定理 130
4.4 附錄(關(guān)于4.1節(jié)不涉及第3章的一個(gè)初等處理)133
習(xí)題4 136
第5章 環(huán)與理想 138
5.1 環(huán)的乘法半群和加法群 138
5.2 素理想和極大理想 138
5.3 整環(huán)的分式域 142
5.4 多項(xiàng)式環(huán) 145
5.4.1 交換幺環(huán)上的多項(xiàng)式環(huán) 145
5.4.2 整環(huán)和域上的一元多項(xiàng)式環(huán) 150
5.5 整環(huán)的因子分解理論 151
5.5.1 素元與不可約元 151
5.5.2 唯一分解整環(huán) 154
5.5.3 主理想整環(huán) 156
5.5.4 Euclid整環(huán) 158
習(xí)題5 159
第6章 模與線性空間 162
6.1 模的基本概念 162
6.1.1 模的概念和例子 162
6.1.2 子模、商模 164
6.1.3 模同態(tài) 165
6.2 自由模 166
6.2.1 自由模的基本概念和事實(shí) 166
6.2.2 自由Z-模 172
6.3 模的直和分解 177
6.3.1 模的(內(nèi))直和與外直和 177
6.3.2 模涉及模同態(tài)的一類(lèi)直和分解 179
6.4 回訪模(線性空間)的概念{模(線性空間)公理間的獨(dú)立性 182
習(xí)題6 188
參考文獻(xiàn) 190
索引 191