高等工程數學

目 錄
前 言
第 1 章 數學建模與誤差分析 1
1.1 數學與科學計算 1
1.2 數學建模及其重要意義 1
1.2.1 數學建模的過程 1
1.2.2 數學建模的一般步驟 2
1.2.3 數學建模的重要意義 3
1.3 數值方法與算法評價 4
1.4 誤差的種類及其來源 6
1.4.1 模型誤差 6
1.4.2 觀測誤差 6
1.4.3 截斷誤差 6
1.4.4 舍入誤差 7
1.5 絕對誤差和相對誤差 7
1.5.1 絕對誤差和絕對誤差限 7
1.5.2 相對誤差和相對誤差限 8
1.6 誤差的傳播與估計 9
1.6.1 誤差傳播估計的一般公式 9
1.6.2 誤差在算術運算中的傳播 11
1.6.3 算法誤差實例分析 12
習題 1 16
第 2 章 城市供水量的預測模型———
插值與擬合算法 18
2.1 城市供水量的預測問題 18
2.2 求未知函數近似表達式的插值法 18
2.2.1 求函數近似表達式的必要性 18
2.2.2 插值多項式的存在唯一性 19
2.3 求插值多項式的拉格朗日( Lagrange) 法 20
2.3.1 拉格朗日插值基函數 20
2.3.2 拉格朗日插值多項式 20
2.3.3 插值余項 22
2.3.4 插值誤差的事后估計法 23
2.4 求插值多項式的牛頓法 24
2.4.1 向前差分與牛頓向前插值公式 24
2.4.2 向后差分與牛頓向后插值公式 26
2.4.3 差商與牛頓基本插值多項式 27
2.5 求插值多項式的改進算法 29
2.5.1 分段低次插值 29
2.5.2 三次樣條插值 31
2.6 求函數近似表達式的擬合法 36
2.6.1 曲線擬合的最小二乘法 37
2.6.2 加權最小二乘法 44
2.6.3 利用正交函數作最小二乘法擬合 45
2.7 城市供水量預測的簡單方法 47
2.7.1 供水量增長率估計與數值微分 47
2.7.2 利用插值多項式求導數 48
2.7.3 利用三次樣條插值函數求導 49
2.7.4 城市供水量預測 50
習題 2 54
第 3 章 湘江流量計算問題———數值積分法 56
3.1 數值積分公式的構造及代數精度 56
3.1.1 數值求積的必要性 56
3.1.2 構造數值求積公式的基本方法 56
3.1.3 求積公式的余項 57
3.1.4 求積公式的代數精度 57
3.2 數值求積的牛頓 - 柯特斯方法 58
3.2.1 牛頓 - 柯特斯公式 59
3.2.2 復合牛頓 - 柯特斯公式 60
3.2.3 誤差的事后估計與步長的自動選擇 63
3.2.4 復合梯形法的遞推算式 64
3.3 龍貝格算法 66
3.3.1 龍貝格算法的基本原理 66
3.3.2 龍貝格算法計算公式的簡化 68
3.4 高斯型求積公式與測量
位置的優(yōu)化選取 69
3.4.1 高斯型求積公式的定義 69
3.4.2 高斯型求積公式的構造與應用 70
3.5 湘江流量的估計 72
習題 3 72
第 4 章 養(yǎng)老保險問題———非線性方程求根的數值解法 74
4.1 養(yǎng)老保險問題 74
4.1.1 問題的引入 74
4.1.2 模型分析 74
4.1.3 模型假設 74
4.1.4 模型建立 74
4.1.5 模型求解 75
4.2 非線性方程求根的數值方法 75
4.2.1 根的搜索相關定義 75
4.2.2 逐步搜索法 75
4.2.3 二分法 76
4.2.4 迭代法 77
4.2.5 牛頓公式 82
4.2.6 牛頓法的幾何意義 82
4.2.7 牛頓法的局部收斂性 83
4.2.8 牛頓法應用舉例 84
4.2.9 牛頓下山法 85
4.2.10 弦截法與物線法 86
4.2.11 多項式求值的秦九韶算法 88
4.2.12 代數方程的牛頓法 89
4.2.13 牛頓法對重根的處理 89
4.3 養(yǎng)老保險模型的求解 90
習題 4 91
第 5 章 小行星軌道方程計算問題———
線性方程組的數值解法 92
5.1 小行星軌道方程問題 92
5.1.1 問題的引入 92
5.1.2 模型的分析 92
5.1.3 模型的假設 93
5.1.4 模型的建立 93
5.2 線性方程組數值解法概述 93
5.3 直接解法 94
5.3.1 高斯消元法 94
5.3.2 矩陣的三角分解 97
5.3.3 高斯消元法的計算量 99
5.3.4 高斯主元素消元法 99
5.3.5 完全主元素消元法 100
5.3.6 列主元消元法 101
5.3.7 高斯 - 約當消元法 103
5.3.8 高斯消元法的變形 105
5.3.9 平方根法 107
5.3.10 追趕法 109
5.4 迭代法 112
5.4.1 雅可比迭代法 113
5.4.2 高斯 - 賽德爾迭代法 114
5.4.3 迭代法的收斂性 115
5.4.4 超松弛迭代法 121
5.5 誤差分析 124
5.5.1 矩陣的條件數及誤差分析 124
5.5.2 迭代改善法 128
5.5.3 舍入誤差分析 130
5.6 小行星軌道方程問題的模型求解 130
習題 5 131
第 6 章 常微分方程數值解法 133
6.1 實際問題的微分方程模型 133
6.2 簡單的數值方法與基本概念 134
6.2.1 常微分方程初值問題 134
6.2.2 歐拉法及改進的歐拉法 135
6.2.3 截斷誤差與算法精度的階 137
6.3 線性多步法 140
6.3.1 數值積分法 140
6.3.2 待定系數法 142
6.4 非線性單步法———龍格 - 庫塔法 144
6.4.1 泰勒展開法 144
6.4.2 龍格 - 庫塔法 145
6.5  一階方程組和高階方程的初值問題 150
6.6  常微分方程邊值問題的數值解法 151
6.6.1 試射法 151
6.6.2 差分法 153
習題 6 156
第 7 章 產品的次品率的推斷———估計與檢驗 157
7.1 問題的提出 157
7.2 基本概念和重要結論 157
7.3 估計方法 161
7.3.1 點估計 161
7.3.2 區(qū)間估計 163高等工程數學
7.4 假設檢驗 165
7.4.1 參數假設檢驗 165
7.4.2 分布假設檢驗 169
習題 7 171
第 8 章