算法詳解 卷1：算法基礎(chǔ)

第 1章 緒論 1
1．1 為什么要學(xué)習(xí)算法 1
1．2 整數(shù)乘法 3
1．2．1 問題和解決方案 3
1．2．2 整數(shù)乘法問題 3
1．2．3 小學(xué)算法 4
1．2．4 操作數(shù)量的分析 5
1．2．5 還能做得更好嗎 5
1．3 Karatsuba乘法 6
1．3．1 一個(gè)具體的例子 6
1．3．2 一種遞歸算法 7
1．3．3 Karatsuba乘法 9
1．4 MergeSort算法 11
1．4．1 推動力 11
1．4．2 排序 12
1．4．3 一個(gè)例子 13
1．4．4 偽碼 14
1．4．5 Merge子程序 15
1．5 MergeSort算法分析 16
1．5．1 Merge的運(yùn)行時(shí)間 17
1．5．2 MergeSort的運(yùn)行時(shí)間 18
1．5．3 定理1．2的證明 19
1．5．4 小測驗(yàn)1．1～1．2的答案 23
1．6 算法分析的指導(dǎo)原則 23
1．6．1 第 1個(gè)原則：最壞情況分析 24
1．6．2 第 2個(gè)原則：全局分析 25
1．6．3 第3個(gè)原則：漸進(jìn)性分析 26
1．6．4 什么是“快速”算法 27
1．7 本章要點(diǎn) 28
1．8 習(xí)題 29
挑戰(zhàn)題 31
編程題 31
第 2章 漸進(jìn)性表示法 32
2．1 要旨 32
2．1．1 推動力 32
2．1．2 高級思維 33
2．1．3 4個(gè)例子 34
2．1．4 小測驗(yàn)2．1～2．4的答案 38
2．2 大O表示法 40
2．2．1 文本定義 40
2．2．2 圖形定義 40
2．2．3 數(shù)學(xué)定義 41
2．3 兩個(gè)基本例子 42
2．3．1 k階多項(xiàng)式是O(nk) 42
2．3．2 k階多項(xiàng)式不是O(nk-1) 43
2．4 大Ω和大 表示法 44
2．4．1 大Ω表示法 44
2．4．2 大 表示法 45
2．4．3 小O表示法 46
2．4．4 漸進(jìn)性表示法的來源 47
2．4．5 小測驗(yàn)2．5的答案 48
2．5 其他例子 48
2．5．1 在指數(shù)中添加一個(gè)常數(shù) 48
2．5．2 指數(shù)乘以一個(gè)常數(shù) 49
2．5．3 最大值vs．和 49
2．6 本章要點(diǎn) 50
2．7 習(xí)題 51
第3章 分治算法 53
3．1 分治法規(guī)范 53
3．2 以O(shè)(n log n)時(shí)間計(jì)數(shù)逆序?qū)?54
3．2．1 問題 54
3．2．2 一個(gè)例子 54
3．2．3 協(xié)同篩選 55
3．2．4 窮舉搜索法 55
3．2．5 分治法 56
3．2．6 高級算法 57
3．2．7 關(guān)鍵思路：站在MergeSort的肩膀上 57
3．2．8 重溫Merge 58
3．2．9 Merge和分離逆序?qū)?60
3．2．10 Merge_and_CountSplitInv 61
3．2．11 正確性 61
3．2．12 運(yùn)行時(shí)間 62
3．2．13 小測驗(yàn)3．1～3．2的答案 62
3．3 Strassen的矩陣相乘算法 63
3．3．1 矩陣相乘 63
3．3．2 例子（n = 2） 64
3．3．3 簡單算法 64
3．3．4 分治法 65
3．3．5 節(jié)省一個(gè)遞歸調(diào)用 67
3．3．6 細(xì)節(jié) 68
3．3．7 小測驗(yàn)3．3的答案 69
*3．4 O(n log n)時(shí)間的最近點(diǎn)對（Closest Pair）算法 70
3．4．1 問題 70
3．4．2 熱身：1D情況 71
3．4．3 預(yù)處理 71
3．4．4 一種分治方法 72
3．4．5 一個(gè)微妙的變化 74
3．4．6 ClosestSplitPair 74
3．4．7 正確性 76
3．4．8 輔助結(jié)論3．3（a）的證明 77
3．4．9 輔助結(jié)論3．3（b）的證明 78
3．4．10 小測驗(yàn)3．4的答案 80
3．5 本章要點(diǎn) 80
3．6 習(xí)題 81
挑戰(zhàn)題 81
編程題 82
第4章 主方法 83
4．1 重溫整數(shù)乘法 83
4．1．1 RecIntMult算法 84
4．1．2 Karatsuba算法 84
4．1．3 比較遞歸過程 85
4．2 形式聲明 86
4．2．1 標(biāo)準(zhǔn)遞歸過程 86
4．2．2 主方法的陳述和討論 87
4．3 6個(gè)例子 88
4．3．1 重溫MergeSort 89
4．3．2 二分搜索 89
4．3．3 整數(shù)乘法的遞歸算法 90
4．3．4 Karatsuba乘法 90
4．3．5 矩陣乘法 91
4．3．6 一個(gè)虛構(gòu)的遞歸過程 92
4．3．7 小測驗(yàn)4．2～4．3的答案 93
*4．4 主方法的證明 94
4．4．1 前言 94
4．4．2 重溫遞歸樹 95
4．4．3 單層所完成的工作 96
4．4．4 各層累計(jì) 97
4．4．5 正義與邪惡：需要考慮3種情況 98
4．4．6 預(yù)告運(yùn)行時(shí)間上界 99
4．4．7 最后的計(jì)算：第 一種情況 100
4．4．8 迂回之旅：幾何級數(shù) 101
4．4．9 最后的計(jì)算：第二種情況和第三種情況 102
4．4．10 小測驗(yàn)4．4～4．5的答案 103
4．5 本章要點(diǎn) 103
4．6 習(xí)題 104
第5章 快速排序（QuickSort） 107
5．1 概述 107
5．1．1 排序 108
5．1．2 根據(jù)基準(zhǔn)元素進(jìn)行劃分 108
5．1．3 高級描述 110
5．1．4 內(nèi)容前瞻 110
5．2 圍繞基準(zhǔn)元素進(jìn)行劃分 111
5．2．1 簡易方法 111
5．2．2 原地實(shí)現(xiàn)：高級計(jì)劃 112
5．2．3 例子 113
5．2．4 Partition子程序的偽碼 115
5．2．5 QuickSort的偽碼 117
5．3 良好的基準(zhǔn)元素的重要性 117
5．3．1 ChoosePivot的簡單實(shí)現(xiàn) 118
5．3．2 ChoosePivot的過度實(shí)現(xiàn) 118
5．3．3 小測驗(yàn)5．1～5．2的答案 119
5．4 隨機(jī)化的QuickSort 121
5．4．1 ChoosePivot的隨機(jī)化實(shí)現(xiàn) 121
5．4．2 隨機(jī)化QuickSort的運(yùn)行時(shí)間 122
5．4．3 直覺：隨機(jī)基準(zhǔn)元素為什么很好 123
*5．5 隨機(jī)化QuickSort的分析 124
5．5．1 預(yù)備工作 125
5．5．2 分解藍(lán)圖 126
5．5．3 應(yīng)用藍(lán)圖 128
5．5．4 計(jì)算比較的概率 130
5．5．5 最后的計(jì)算 132
5．5．6 小測驗(yàn)5．3的答案 133
*5．6 排序需要 (n log n)的比較 134
5．6．1 基于比較的排序算法 134
5．6．2 具有更強(qiáng)前提的更快速排序 135
5．6．3 定理5．5的證明 136
5．7 本章要點(diǎn) 138
5．8 習(xí)題 139
挑戰(zhàn)題 140
編程題 141
第6章 線性時(shí)間級的選擇 142
6．1 RSelect算法 143
6．1．1 選擇問題 143
6．1．2 簡化為排序 144
6．1．3 分治法 145
6．1．4 RSelect的偽碼 146
6．1．5 RSelect的運(yùn)行時(shí)間 147
6．1．6 小測驗(yàn)6．1～6．2的答案 149
*6．2 RSelect的分析 150
6．2．1 根據(jù)階段追蹤進(jìn)展 150
6．2．2 簡化為擲硬幣 151
6．2．3 綜合結(jié)論 153
*6．3 DSelect算法 154
6．3．1 基本思路：中位的中位元素 154
6．3．2 DSelect的偽碼 155
6．3．3 理解DSelect 156
6．3．4 DSelect的運(yùn)行時(shí)間 157
*6．4 DSelect的分析 159
6．4．1 遞歸調(diào)用之外所完成的工作 159
6．4．2 一個(gè)粗略的遞歸過程 159
6．4．3 30-70輔助結(jié)論 160
6．4．4 解析遞歸過程 163
6．4．5 先猜后驗(yàn)方法 164
6．5 本章要點(diǎn) 166
6．6 本章習(xí)題 166
挑戰(zhàn)題 167
編程題 168
附錄A 快速回顧數(shù)學(xué)歸納法 169
附錄B 快速回顧離散概率 173