不等式（第2版）

第1章　導論　1
1.1　有限的、無限的、積分的不等式　1
1.2　記號　2
1.3　正不等式　2
1.4　齊次不等式　3
1.5　代數(shù)不等式的公理基礎　4
1.6　可比較的函數(shù)　5
1.7　證明的選擇　5
1.8　主題的選擇　7
第2章　初等平均值　9
2.1　常用平均　9
2.2　加權平均　10
2.3　Mr(a)的極限情形　11
2.4　Cauchy不等式　12
2.5　算術平均定理和幾何平均定理　13
2.6　平均值定理的其他證明　15
2.7　Hlder不等式及其推廣　17
2.8　Hlder不等式及其推廣(續(xù))　19
2.9　平均值Mr(a)的一般性質　21
2.10　和數(shù)Sr(a)　23
2.11　Minkowski不等式　24
2.12　Minkowski不等式的伴隨不等式　26
2.13　諸基本不等式的解說和應用　27
2.14　諸基本不等式的歸納證明　31
2.15　與定理37有關的初等不等式　32
2.16　定理3的初等證明　35
2.17　Tchebychef不等式　35
2.18　Muirhead定理　37
2.19　Muirhead定理的證明　38
2.20　兩個備擇定理　40
2.21　關于對稱平均的其他定理　41
2.22　n個正數(shù)的初等對稱函數(shù)　42
2.23　關于定型的一點說明　45
2.24　關于嚴格正型的一個定理　47
2.25　各種定理及特例　50
第3章　關于任意函數(shù)的平均，凸函數(shù)論　55
3.1　定義　55
3.2　等價平均　56
3.3　平均Mr的特征性質　57
3.4　可比較性　59
3.5　凸函數(shù)　59
3.6　連續(xù)凸函數(shù)　60
3.7　關于凸函數(shù)的另一個定義　62
3.8　諸基本不等式中的等號　63
3.9　定理85的改述和推廣　64
3.10　二階可微的凸函數(shù)　65
3.11　二階可微的凸函數(shù)的性質的應用　66
3.12　多元凸函數(shù)　67
3.13　Hlder不等式的推廣　69
3.14　關于單調函數(shù)的一些定理　70
3.15　關于任意函數(shù)的和數(shù)：Jensen不等式的推廣　71
3.16　Minkowski不等式的推廣　72
3.17　集合的比較　75
3.18　凸函數(shù)的一般性質　77
3.19　連續(xù)凸函數(shù)的其他性質　79
3.20　不連續(xù)的凸函數(shù)　81
3.21　各種定理及特例　82
第4章　微積分學的若干應用　87
4.1　導引　87
4.2　中值定理的應用　87
4.3　初等微分學的進一步應用　88
4.4　一元函數(shù)的極大和極小　91
4.5　Taylor級數(shù)的使用　91
4.6　多元函數(shù)的極大極小理論的應用　92
4.7　級數(shù)與積分的比較　94
4.8　W.H.Young的一個不等式　95
第5章　無窮級數(shù)　98
5.1　導引　98
5.2　平均值Mr　99
5.3　定理3和定理9的推廣　101
5.4　H?lder不等式及其推廣　102
5.5　平均值Mr(續(xù))　104
5.6　和數(shù)Sr　104
5.7　Minkowski不等式　105
5.8　Tchebychef不等式　106
5.9　小結　106
5.10　各種定理及特例　106
第6章　積分　109
6.1　關于Lebesgue積分的一些初步說明　109
6.2　關于零集和零函數(shù)的說明　110
6.3　有關積分的進一步說明　111
6.4　關于證法的說明　113
6.5　關于方法的進一步說明：Schwarz不等式　114
6.6　當r≠0時平均值Mr(f)的定義　115
6.7　函數(shù)的幾何平均　117
6.8　幾何平均的其他性質　119
6.9　關于積分的Hlder不等式　120
6.10　平均Mr(f)的一般性質　123
6.11　平均Mr(f)的一般性質(續(xù))　125
6.12l　nMrr的凸性　126
6.13　關于積分的Minkowski不等式　126
6.14　關于任意函數(shù)的平均值　131
6.15　Stieltjes積分的定義　133
6.16　Stieltjes積分的特別情形　134
6.17　前面一些定理的推廣　135
6.18　平均Mr(f;Ф)　136
6.19　分布函數(shù)　137
6.20　平均值的特征化　138
6.21　關于特征性質的說明　139
6.22　完成定理215的證明　140
6.23　各種定理及特例　142
第7章　變分法的一些應用　151
7.1　一些一般性的說明　151
7.2　本章的目的　152
7.3　對應于不可達到的極值的不等式的例子　153
7.4　定理254的第一個證明　154
7.5　定理254的第二個證明　156
7.6　用來闡明變分法的其他例子　159
7.7　進一步的例子：Wirtinger不等式　161
7.8　包含二階導數(shù)的一個例子　164
7.9　一個較簡單的定理　169
7.10　各種定理及特例　169
第8章　關于雙線性形式和多線性形式的一些定理　172
8.1　導引　172
8.2　帶有正變量和正系數(shù)的多線性形式的不等式　172
8.3　W.H.Young的一個定理　174
8.4　推廣和類似情形　176
8.5　在Fourier級數(shù)中的應用　178
8.6　關于正的多線性形式的凸性定理　179
8.7　一般的雙線性形式　180
8.8　有界雙線性形式的定義　182
8.9?。踦，q］中有界形式的一些性質　183
8.10?。踦，p′］中兩種形式的卷積　184
8.11　關于［2，2］中諸形式的一些特有定理　186
8.12　在Hilbert形式中的應用　187
8.13　關于帶有復變量和系數(shù)的雙線性形式的凸性定理　188
8.14　最大組(x，y)的進一步的性質　190
8.15　定理295的證明　191
8.16　M.Riesz定理的應用　193
8.17　在Fourier級數(shù)上的應用　194
8.18　各種定理及特例　195
第9章　Hilbert不等式及其類似情形和推廣　200
9.1　Hilbert二重級數(shù)定理　200
9.2　一類廣泛的雙線性形式　201
9.3　關于積分的相應定理　203
9.4　定理318和定理319的推廣　204
9.5　最佳常數(shù)：定理317的證明　205
9.6　關于Hilbert定理的進一步論述　207
9.7　Hilbert定理的應用　209
9.8　Hardy不等式　212
9.9　進一步的積分不等式　215
9.10　關于級數(shù)的進一步定理　218
9.11　從關于積分的定理推出關于級數(shù)的定理　219
9.12　Carleman不等式　220
9.13　當0＜p＜1時的定理　222
9.14　帶有兩個參數(shù)p和q的一個定理　224
9.15　各種定理及特例　225
第10章　重新排列　231
10.1　有限變量集的重新排列　231
10.2　有關兩個集的重新排列的一個定理　232
10.3　定理368的第二個證明　233
10.4　定理368的改述　234
10.5　有關三個集的重新排列定理　235
10.6　將定理373化為一種特殊情形　236
10.7　證明的完成　238
10.8　定理371的另一種證明　240
10.9　任意多個集的重新排列　242
10.10　關于任意多個集的重新排列的另一個定理　243
10.11　應用　245
10.12　函數(shù)的重新排列　245
10.13　關于兩個函數(shù)的重新排列　247
10.14　關于三個函數(shù)的重新排列　247
10.15　完成定理379的證明　249
10.16　定理379的另一個證明　252
10.17　應用　255
10.18　關于將函數(shù)按降序重新排列的另外一個定理　258
10.19　定理384的證明　 259
10.20　各種定理及特例　 262
附錄A　關于嚴格正型　267
附錄B　Thorin關于定理295的證明及推廣　270
附錄C　關于Hilbert不等式　272
參考文獻　274