數學與哲學

一 “萬物皆數”觀點的破滅與再生——第一次數學危機與實數理論
　1.1 畢達哥拉斯學派的信條——萬物皆數
　1.2 第一個無理數
　1.3 無理數之謎
　1.4 連續(xù)性的奧秘
　1.5 戴德金分割
　1.6 連續(xù)歸納原理
　1.7 “萬物皆數”的再生
二 哪種幾何才是真的——非歐幾何與現代數學的“公理”
　2.1 歐幾里得的公理方法
　2.2 歐幾里得的幾何定理是真理嗎
　2.3 非歐幾何的發(fā)現
　2.4 哪一個是真的
　2.5 公理是什么
三 變量無窮小量的鬼魂——第二次數學危機與極限概念
　3.1 數學怎么描述運動與變化
　3.2 瞬時速度
　3.3 微分是量的鬼魂嗎
　3.4 無窮小量的再生
四 自然數有多少——數學中的“實在無窮”概念
　4.1 伽利略的困惑
　4.2 康托，闖入無窮王國的先鋒
　4.3 希爾伯特的“無窮旅店”
　4.4 所有的無窮都一樣嗎
　4.5 自然數究竟有多少
五 羅素悖論引起的軒然大波——第三次數學危機
　5.1 邏輯——集合——數
　5.2 羅素悖論
　5.3 集合的層次理論
　5.4 集合論的公理化
　5.5 連續(xù)統假設
　5.6 地平線仍在前方
六 數是什么——對數學對象本質的幾種看法
　6.1 1是什么
　6.2 柏拉圖主義——數存在于理念世界
　6.3 唯名論觀點——數是紙上的符號或頭腦中特定的概念
　6.4 康德數是思維創(chuàng)造的抽象實體
　6.5 約定論的觀點——數學規(guī)則不過是人的約定
　6.6 邏輯主義——算術是邏輯的一部分
　6.7 直覺主義——數學概念是自主的智力活動
　6.8 形式主義——把數學化為關于有限符號排列的操作
七 是真的，但又不能證明——哥德爾定理
　7.1 哥德爾定理
　7.2 說謊者悖論與理查德悖論
　7.3 算術有多少種
　7.4 數學的力量與局限
八 數學與結構——布爾巴基學派的觀點
　8.1 在邏輯長鏈的背后
　8.2 形形色色的加法
　8.3 基本的結構
　8.4 分析與綜合的藝術
九 命運決定還是意志自由——必然性與偶然性的數學思考
　9.1 兩種對立的哲學觀點
　9.2 從偶然產生必然
　9.3 從必然產生偶然
　9.4 一場風或一口痰能影響民族的命運嗎
　9.5 什么叫必然什么叫偶然
十 舉例子能證明幾何定理嗎
　——演繹與歸納的對立與統一
　10.1 例證法——用演繹支持歸納
　10.2 幾何定理也能用例子證明
　10.3 進一步的思考
十一 數學與哲學隨想
　11.1 數學的領域在擴大哲學的地盤在縮小
　11.2 數學始終在影響著哲學
　11.3 抽象與具體
　11.4 涉及具體問題時語言必須精確嚴格
　11.5 個別與一般
　11.6 事物與概念
　11.7 “我不需要這個假設”
　11.8 證實與證偽
　11.9 數學世界是人的創(chuàng)造但它是客觀的
　11.10 事物的總體性
　11.11 變化中的不變
　11.12 預言
　11.13 “沒有兩件事物完全一樣”
　11.14 物極必返
　11.15 量變與質變
　11.16 羅素與“事素”