數(shù)學(xué)方法論十二講

第一講 數(shù)學(xué)方法論引論
§1 研究數(shù)學(xué)方法論的意義和目的
§2 宏觀的方法論與微觀的方法論
§3 略論希爾伯特成功的社會(huì)兇素
§4 淺談微觀的數(shù)學(xué)方法論
第二講 略論數(shù)學(xué)模型方法
§1 數(shù)學(xué)模型的意義
§2 數(shù)學(xué)模型的類別及簡單例子
§3 MM的構(gòu)造過程及特點(diǎn)
§4 怎樣培訓(xùn)構(gòu)造MM的能力
第三講 關(guān)系映射反演原則的應(yīng)用
§1 何謂“關(guān)系映射反演原則”
§2 數(shù)學(xué)中的RMI原則
§3 若干較簡單的例子
§4 幾個(gè)較難一點(diǎn)的例子
§5 用RMI原則分析“不可能性命題”
§6 關(guān)于1RMI原則的補(bǔ)充說明
第四講 略論數(shù)學(xué)公理化方法
§1 公理化方法的意義和作用
§2 公理化方法的發(fā)展簡史
§3 公理化方法的基本內(nèi)容
§4 重要例子——幾何學(xué)公理化方法
§5 關(guān)-p公理系統(tǒng)的相容性問題
§6 略談自然科學(xué)中的公理化方法
第五講 關(guān)于數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)主義
§1 結(jié)構(gòu)主義學(xué)派的形成過程
§2 布爾巴基學(xué)派的一般觀點(diǎn)
§3 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的分類
§4 數(shù)直線結(jié)構(gòu)分析
§5 略談拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)
§6 略談同構(gòu)概念
§7 略評結(jié)構(gòu)主義
第六講 代數(shù)方程根式解法與伽羅瓦的群論思想方法
§1 代數(shù)基本定理與根式解法研究簡史
§2 拉格朗日的思想方法與阿貝爾定理
§3 伽羅瓦的思想方法
§4 方程式可解性理論簡介
第七講 關(guān)于非標(biāo)準(zhǔn)數(shù)域與非康托型自然數(shù)模型的構(gòu)造方法
§1 略論“無限”概念蘊(yùn)含的矛盾
§2 非標(biāo)準(zhǔn)數(shù)域的構(gòu)造方法
§3 非康托型自然數(shù)序列模型的構(gòu)造法
§4 關(guān)于一個(gè)引伸的芝諾悖論的解釋
§5 略論無限的兩種形態(tài)
第八講 悖論與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題
§1 悖論的定義和起源
§2 悖論舉例和數(shù)學(xué)三次危機(jī)
§3 策莫洛對悖論的解決方案
§4 羅素對悖論的解決方案
§5 塔斯基及其語義學(xué)
§6 哥德爾的不完備性定理與悖論
§7 悖論的成因與研究悖論的重要意義
第九講 論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)諸流派及其無窮觀
§1 數(shù)學(xué)系統(tǒng)的相對相容性證明與諸流派形成的歷史近因
§2 邏輯主義派的觀點(diǎn)和方法
§3 直覺主義派的觀點(diǎn)和方法
§4 略論形式公理學(xué)派的觀點(diǎn)和主張
§5 關(guān)于三大流派的簡短評論
第十講 略論數(shù)學(xué)發(fā)明創(chuàng)造的心智過程
§1 何謂數(shù)學(xué)上的發(fā)明或創(chuàng)造
§2 龐卡萊關(guān)于數(shù)學(xué)創(chuàng)造的論點(diǎn)
§3 略談數(shù)學(xué)創(chuàng)造的一般心智過程
第十一講 數(shù)學(xué)抽象度概念與抽象度分析法
§1 引言
§2 抽象與嚴(yán)格偏序
§3 抽象度的一般概念
§4 略論抽象法則與抽象難度
§5 抽象度分析法概述
第十二講 “數(shù)學(xué)模式觀”與數(shù)學(xué)教育及哲學(xué)研究中的有關(guān)問題
§1 數(shù)學(xué)模式的含義
§2 模式論觀點(diǎn)與數(shù)學(xué)教育及教學(xué)
§3 模式觀與數(shù)學(xué)真理問題
附錄
附錄Ⅰ 數(shù)學(xué)研究的藝術(shù)
附錄Ⅱ 數(shù)學(xué)研究中的創(chuàng)造性思維規(guī)律
附錄Ⅲ 徐利治與數(shù)學(xué)方法學(xué)
參考文獻(xiàn)