數(shù)學哲學引論

　　本書是數(shù)學哲學的一本引論。而只能選擇其中較主要的內(nèi)容做初步探討。本書討論了古希臘數(shù)學哲學三大派別和現(xiàn)代數(shù)學哲學三大派別，以及數(shù)學同辯證法的關系（這里也涉及若干數(shù)學哲學派別）。本書每一章的最后一節(jié)都是做這種性質(zhì)的探討的。本書的結(jié)語部分，又對辯證唯物主義的數(shù)學哲學體系和內(nèi)容做了較系統(tǒng)的探討。本書的寫作力圖貫徹歷史的和邏輯的統(tǒng)一原則。在討論數(shù)學哲學每一方面的問題時，都把歷史線索和邏輯結(jié)合起來進行分析，以揭示數(shù)學哲學發(fā)展的內(nèi)在機制和規(guī)律。數(shù)學哲學應該說是一個古老的研究領域，但它又是一個很年輕的新興學科。它的社會意義和價值是現(xiàn)代科學發(fā)展中日益明顯化的。本書是數(shù)學哲學的一本引論。而只能選擇其中較主要的內(nèi)容做初步探討。本書討論了古希臘數(shù)學哲學三大派別和現(xiàn)代數(shù)學哲學三大派別，以及數(shù)學同辯證法的關系（這里也涉及若干數(shù)學哲學派別）。本書每一章的最后一節(jié)都是做這種性質(zhì)的探討的。本書的結(jié)語部分，又對辯證唯物主義的數(shù)學哲學體系和內(nèi)容做了較系統(tǒng)的探討。本書的寫作力圖貫徹歷史的和邏輯的統(tǒng)一原則。在討論數(shù)學哲學每一方面的問題時，都把歷史線索和邏輯結(jié)合起來進行分析，以揭示數(shù)學哲學發(fā)展的內(nèi)在機制和規(guī)律。數(shù)學哲學應該說是一個古老的研究領域，但它又是一個很年輕的新興學科。它的社會意義和價值是現(xiàn)代科學發(fā)展中日益明顯化的。TOP目錄 再版前言緒論第一章數(shù)學與科學第一節(jié)畢達哥拉斯學派及其影響第二節(jié)近代科學的數(shù)學化第三節(jié)現(xiàn)代科學的數(shù)學化第四節(jié)科學對數(shù)學化的作用第二章數(shù)學與心智第一節(jié)柏拉圖學派及其影響第二節(jié)近代的數(shù)學柏拉圖主義第三節(jié)現(xiàn)代的數(shù)學柏拉圖主義第四節(jié)約定主義及有關學派第五節(jié)心智在數(shù)學中的作用第三章數(shù)學與經(jīng)驗第一節(jié)亞里士多德學派其影響第二節(jié)近代的數(shù)學經(jīng)驗主義第三節(jié)現(xiàn)代的數(shù)學經(jīng)驗主義第四節(jié)經(jīng)驗在數(shù)學中的作用第四章數(shù)學與邏輯第一節(jié)數(shù)學與邏輯關系的演變第二節(jié)邏輯主義學派及其影響第三節(jié)邏輯邏輯數(shù)學中的作用第五章數(shù)學與直覺第一節(jié)近代的數(shù)學直覺主義第二節(jié)現(xiàn)代的數(shù)學直覺主義第三節(jié)直覺在數(shù)學中的作用第六章數(shù)學與形式化第一節(jié)數(shù)學形式化的歷史發(fā)展第二節(jié)形式主義學派及其影響第三節(jié)形式化在數(shù)學中的作用第七章數(shù)學與辯證法第一節(jié)古代數(shù)學中的辯證法第二節(jié)近代數(shù)學中的辯證法第三節(jié)現(xiàn)代數(shù)學與辯證法第四節(jié)辯證唯物主義數(shù)學觀的發(fā)展結(jié)語附錄一：數(shù)學思維與思維訓練附錄二：有機的數(shù)學觀附錄三：中國傳統(tǒng)知識的量化特征及其對數(shù)學的影響附錄四：與數(shù)學哲學研究相關的幾部譯著簡介后記再版附記 TOP書摘書摘“科學的數(shù)學化”常被認為是現(xiàn)代術語，其實這個術語所表示的事件從伽利略的時代就已出現(xiàn)了。這是數(shù)學與科學關系的一次重大轉(zhuǎn)折。在伽利略生活的16世紀之前，由于亞里士多德學派的影響，人們相信事物的定性的質(zhì)是基本的，任何現(xiàn)象的原因都是質(zhì)的原因?？茖W的任務就在于找出事物定性的質(zhì)，而量的描述是為定性分析服務的。受這種觀點所支配，在整個中世紀里，甚至有關無限、連續(xù)、變化率等純數(shù)學的問題，也都是采取定性分析的方法主硬地進行討論的。16世紀以后，伽利略開創(chuàng)了對物理學的數(shù)學解釋。受畢達哥拉斯學派的影響，伽利略堅信自然界這本“大書”是用數(shù)學語言寫出的，自然界按照完美而不變的數(shù)學規(guī)律活動著。因此，很多物理概念和規(guī)律必須從數(shù)學原理上加以說明，并不存在什么玄妙的質(zhì)。伽利略給物理學中數(shù)學公式規(guī)定的任務是“只描述，不解釋”，實際上是不要定性的解釋，而把量的描述作為物理規(guī)律的惟一的本質(zhì)上的解釋。這個思想是同當時的傳統(tǒng)觀念明顯對立的。然而牛頓繼承并發(fā)展了這個思想，并將其集中體現(xiàn)在《自然哲學的數(shù)學原理》這部巨著中。牛頓明確指出：“我們說通過數(shù)學方法，是為了避免關于這個力（指萬有引力）的本性或質(zhì)的一切問題，這個質(zhì)是我們用任何假設都不會確定下來的?！辟だ院团ｎD的思想當時遭到包括惠更斯、萊布尼茨、約翰·伯努列等著名科學家在內(nèi)的許多人的激烈反對。人們要求他們首先定性地說明重量和引力的實質(zhì)，否則就認為他們所說的一切都是荒謬的。但后來的事實清楚地表明，伽利略和牛頓的科學成就與他們的這個思想是密切相關的。正是這個思想導致了近代物理學的產(chǎn)生，并使物理學成為頭一個數(shù)學化的領域。比較一下古代的物理學中數(shù)學的不同地位和作用，有助于對“科學的數(shù)學化”這一概念的準確理解。古代的物理學研究中要應用數(shù)學方法，有些物理學規(guī)律（如杠桿原理、浮力定律等）是運用數(shù)學關系式表示的，但總的說來人們并未意識到物理學規(guī)律的表示離不開數(shù)學原理。近代物理學的情況恰恰與之相反。伽利略和牛頓的工作表明，數(shù)學關系式成為數(shù)學規(guī)律已變?yōu)榧償?shù)學的東西。這些規(guī)律中的數(shù)學符號仍表示確定的物理實在意義，但它們之間的關系完全是數(shù)學關系。此外，近代物理學中數(shù)學方法的應用無疑是大大強化了，而這正是由于數(shù)學關系式成為科學規(guī)律的一部分而選成的。如此看來，關鍵是數(shù)學原理“滲透”到科學規(guī)律中去，這才能夠體現(xiàn)科學的數(shù)學“化”。前蘇聯(lián)學者B·辛卡魯克曾認為：“所謂科學知識數(shù)學化就是數(shù)學思維的方法越來越廣泛地成為一般科學的思維方法”，而這個過程“是同數(shù)學概念同時產(chǎn)生和發(fā)展的”，后來發(fā)生的事情只是這個過程的不斷強化而已。B·C·盧基亞涅茨也有類似看法。這種觀點只是強調(diào)了數(shù)學方法應用程度上的差異，卻忽略了科學數(shù)學化產(chǎn)生的特殊歷史背景和特定含義，這是不妥當?shù)摹Ｒ驗槿∠恕翱茖W的數(shù)學化”這一概念的特殊性，‘實際上也就無所謂數(shù)學化了。從辯證唯物主義觀點出發(fā)，如何認識直覺在數(shù)學發(fā)展中的作用呢？要回答這個問題，首先需要弄清楚數(shù)學直覺的內(nèi)容和性質(zhì)。數(shù)學直覺同一般的“科學直覺”是有明顯區(qū)別的。通常的“科學直覺”包含兩種含義，一是人的感官對外界事物直接觀察中獲得的感覺、知覺和表象的總和，即“感性直覺”；二是人思維直接把握事物本質(zhì)的一種內(nèi)在直觀認識，即“理性直覺”。在創(chuàng)造性思維活動中，起主要作用的是理性直覺。它通常同靈，感、頓悟、想像等概念聯(lián)系在一起，構(gòu)成科學研究方法論的一個重要方面。數(shù)學直覺是一種理性直覺，但它的對象不同于一般的科學直覺的對象。數(shù)學直覺的對象是經(jīng)過抽象思維加工的數(shù)學實體，而科學直覺的對象是客觀的物質(zhì)世界。在現(xiàn)代科學數(shù)學化的過程中，數(shù)學直覺同理性的科學直覺日益接近，它們在反映微觀世界和大尺度空間性質(zhì)方面日益顯示出密切的本質(zhì)聯(lián)系。正如同科學數(shù)學化并沒有取消數(shù)學與科學的分界一樣，數(shù)學直覺和理性的科學直覺的界限依然存在。一般說來，理性的科學直覺中較多形象化的東西，而數(shù)學直覺比較抽象，恰如布勞威爾等人所說，有時很難于用語言表達，給人以神秘莫測的感覺。盡管如此，仍然可以對數(shù)學直覺的內(nèi)容做一些基本分析。通過分析數(shù)學直覺主義和有關派別對數(shù)學直覺的認識，大體上可以看出，數(shù)學直覺在內(nèi)容上是分層次的。布勞威爾等人所謂的“對偶性”直覺，以及康德的時空直觀形式，處于較低的層次，類似于自然科學領域中的“感性直覺”。它雖然具有理性思維的特點，但同理性的科學直覺在性質(zhì)上差異較大。這種直覺一般不直接參與數(shù)學研究中的創(chuàng)造性思維活動。龐卡萊和形式主義者所謂的另一種意義的直覺顯然居于較高層次，接近理性的科學直覺，直接參與創(chuàng)造性思維。至于在這兩個層次之間，是否還存在其他中間層次？由較低層次是如何發(fā)展到較高層次的？這些問題還有待研究。較低層次的直覺在數(shù)學發(fā)展中的作用，前面已有論及。這里著重探討較高層次的直覺的內(nèi)容。下面來看（形式主義學派其他代表人物）在數(shù)學本體論和認識認問題上的形式主義觀點。 在數(shù)學本體論問題上，形式主義學派認為，數(shù)學對象是一堆毫無實際內(nèi)容的形式符號體系。不管從什么假設出發(fā)，只要這些假設能以符號形式明顯地表示，用形式的演繹來推理，就成為數(shù)學。美國數(shù)理邏輯學家克林尼（S．C．Kleene）說：“從兀理論的觀點來看，對象理論根本不是一個真正的理論，根本不是像我們對理論這個詞所理解的那種理論，而是毫無意義的對象的系統(tǒng)，這些對象像下棋游戲中的棋子一樣，它們只受到下棋一樣的機械規(guī)則的支配。對象理論是作為一個符號系統(tǒng)和由符號構(gòu)成的對象的系統(tǒng)加以描述和研究的?！泵绹鴶?shù)學邏輯學家柯亨也有類似的論述。美國數(shù)學家A·魯濱遜甚至認為“真實的無窮不存在，理想的無窮也不存在。更嚴格地說，就是關于無窮整體的任何講話或意謂實際上都是無意義的?！憋@然，同邏輯主義學派一樣，形式主義學派也完全否定了討論數(shù)學本體論問題的必要性，當然更不承認數(shù)學對象有任何客觀意義。那么，毫無實際內(nèi)容和客觀意義的形式符號體系如何能應用于現(xiàn)實世界呢？形式主義學派的解釋是：“按數(shù)學的公理形式說，數(shù)學是抽象形式——數(shù)學結(jié)構(gòu)的積累，可是實際上不知為什么發(fā)現(xiàn)，實驗情況的某方面好像是由于命運注定會裝進某些抽象形式?！边@種回答顯然是沒有說服力的。美國數(shù)學家布勞德和萊思評論說：“庸俗的形式主義教條甚至極力反對數(shù)學的任何部分有任何客觀內(nèi)容的可能性。似乎甚至極力反對由歷史決定的數(shù)學領域的意義和內(nèi)容，也反對其中的直覺和中心問題。在用數(shù)學來分析自然現(xiàn)象方面，它原則上使任何有意義的應用看上去成為一個奇跡，成為意志對內(nèi)容的一個勝利。正是按照這個庸俗的形式主義數(shù)學概念使得E·威格納的名言‘數(shù)學在物理科學中不合理的有效性’獲得其心理上的說服力。的確，毫無意義的符號游戲又怎能與物質(zhì)世界的過程有任何內(nèi)在的或重要的聯(lián)系呢？”有些形式主義者，如克里、A·魯濱遜等人，也曾求助于實用的標準。但因與形式主義的原則也沒有必然聯(lián)系，同樣難以說明數(shù)學的應用。由于形式主義學派否認數(shù)學包含任何客觀內(nèi)容，所以認為數(shù)學體系無真理性可言，只能考慮其可接受性問題。形式主義者把數(shù)學認識活動完全限于認識主體自身范圍內(nèi)。在他們看來，數(shù)學發(fā)展的主要動力是內(nèi)在的原因，也就是對于要解決的問題本身的深入思考，而問題的來源如何關系不大。他們相信，數(shù)學思維的演化是以自然的方式進展的，甚至可以說是“定做的”，這里存在著一個最適的“自然”進化過程。應該指出，形式主義學派并不贊成毫無任何根據(jù)的抽象和形式化、公理化，他們要求解決問題，富有成果。但他們所指的問題絕大部分是數(shù)學自身的問題。丟東涅說：“這種經(jīng)常地、富有成效地和自然科學的應用緊密相聯(lián)系的數(shù)學領域，盡管很重要，其中不少領域并不構(gòu)成真正的數(shù)學分支的主要部分?！币虼耍问街髁x學派的很多數(shù)學家們對數(shù)學發(fā)展中經(jīng)驗和應用的啟示不屑一顧。有的形式主義者甚至主張，在數(shù)學教育中也無須引入直覺、經(jīng)驗和應用的因素。只要把形式化的數(shù)學結(jié)構(gòu)體系直接灌輸?shù)綄W生腦子里就成了。這種觀點在數(shù)學研究和教學中都產(chǎn)生了一定的消極影響。 受形式主義學派影響而發(fā)展起來的法國布爾巴基學派，在促使數(shù)學理論體系進一步形式化方面做了大量工作。這個學派認為，數(shù)學各分支應按結(jié)構(gòu)性質(zhì)劃分，運用公理化方法按照結(jié)構(gòu)觀點重新加以整理。所謂“結(jié)構(gòu)”，是一些用若干公理來定義的基本數(shù)學關系。最基本的結(jié)構(gòu)有三種，即代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓撲結(jié)構(gòu)。以這三種結(jié)構(gòu)為基礎，可以形成各種復合結(jié)構(gòu)、多重結(jié)構(gòu)、混合結(jié)構(gòu)，等等。全部或絕大部分數(shù)學內(nèi)容都可以歸結(jié)為各種結(jié)構(gòu)，數(shù)學的發(fā)展無非是結(jié)構(gòu)的建成或重組而已。依據(jù)這種觀點，布爾巴基學派對各數(shù)學分支的內(nèi)容逐一進行分析、概括、抽象，提煉出其中的結(jié)構(gòu)關系，并力圖揭示各種數(shù)學分支之間結(jié)構(gòu)上的內(nèi)在聯(lián)系。如果說希爾伯特的元數(shù)學把數(shù)學形式化引導到日益抽象的方向，那么布爾巴基學派則是回過頭來，立足于更高抽象層次來重新認識全部數(shù)學了。布爾巴基學派力圖向人們澄清“形式化”和“形式主義”的含義，對它們給予正確解釋。他們指出：“重要的是從一開始就要注意防止應用這些定義不確切的詞所引起的混亂，以及注意公理方法的反對者也經(jīng)常使用這些詞而引起的誤解?！睌?shù)學的一大堆形式符號和推理程序、公式組合，無非是數(shù)學自身的語言，是數(shù)學家賦予他的思想的外部形式。數(shù)學既不是一串隨便發(fā)展起來的三段論式，也不是一堆“高明”的技巧。公理方法的目的是引導人們尋求這些細節(jié)下面的深刻的共同的思想。數(shù)學結(jié)構(gòu)的形式原先都是有確定的直觀內(nèi)容的。正是通過小心地扔掉這個內(nèi)容，才有可能賦予這些形式以它們所能顯示的威力，并且使得自身易于接受新的解釋并發(fā)揮出它們?nèi)康耐?。“形式”這個詞只是在這個意義下才能使公理方法被稱為形式主義。它是數(shù)學這個有機整體發(fā)育中的營養(yǎng)液，是方便和多產(chǎn)的研究工具。顯然，布爾巴基學派的觀點同希爾伯特的觀點是基本一致的。應該注意，布爾巴基學派在解釋數(shù)學的形式與內(nèi)容關系時，實際上是講兩個問題。其一，數(shù)學的形式化必須擺脫其直觀內(nèi)容的局限性，這是數(shù)學抽象思維所必需的。這里講的“形式”與“內(nèi)容”的分離是一般概念與具體事物的區(qū)別。只是由于數(shù)學思維和語言的特殊性，必須用形式符號表示更高抽象層次的數(shù)量關系，所以才出現(xiàn)形式化的現(xiàn)象。其二，數(shù)學的形式符號本身是表示實際思想內(nèi)容的，符號和公式不是主觀隨意的堆砌和技巧的產(chǎn)物，而是表示數(shù)學領域各種復雜的結(jié)構(gòu)和數(shù)量關系。這時，“形式”和“內(nèi)容”具有通常的語義，它們是不可分割的。不考慮數(shù)學發(fā)展的歷史過程和現(xiàn)實的內(nèi)容，主觀人為構(gòu)造各種形式系統(tǒng)，玩弄形式符號和公式游戲，顯然是不正確的。布爾巴基學派堅決反對這種通常意義上的片面的“形式主義”。布爾巴基學派的辯解，有助于人們正確理解形式主義學派的主張。實際上，形式主義作為一種現(xiàn)代數(shù)學哲學主張，主要是強調(diào)數(shù)學形式化在表達數(shù)學抽象思維過程方面的意義，它所謂的“形式”和“內(nèi)容”并非處于同一抽象層次上（有些極端的形式主義者強調(diào)數(shù)學符號“毫無實際內(nèi)容”，基本上也是就這個意義而言的）。然而，許多人往往把數(shù)學哲學中這種有特定含義的形式主義同哲學上或通常意義上那種片面割裂形式與內(nèi)容的形式主義混為一談，加以批判和排斥。而那種形式主義是形式主義學派本身也加以反對的（也正因為如此，像希爾伯特、馮·諾伊曼這些人才沒有因主張形式主義而影響其他方面的數(shù)學研究工作，并且在數(shù)學與科學、理論與實踐等方面關系上持自發(fā)唯物主義觀點。數(shù)學形式主義的這種特殊性是必須引起注意的）。 布爾巴基學派工作的具體成果，收入多卷本的巨著《數(shù)學原本》之中。這部巨著結(jié)構(gòu)嚴謹、思路清晰，形式化程度相當高；使人們能從一些最基本的數(shù)學結(jié)構(gòu)出發(fā)一覽整個數(shù)學領域的全貌。從認識論角度看，布爾巴基學派提供了一個內(nèi)容極為豐富的“思維中的具體”，這是對現(xiàn)代數(shù)學形式化發(fā)展的一個十分必要的總結(jié)，同時又為數(shù)學的進一步發(fā)展奠定了基礎。布爾巴基學派在對待會理化方法的理解和使用上，同早期的一些形式主義者相比，要較為全面、靈活，具有一定的辯證思維特征，這一點后面還要談到。形式主義學派對數(shù)學教育的影響發(fā)生較晚，大體上是20世紀60年代后出現(xiàn)的，這就是前面提到的“新數(shù)學”運動。這場運動歷時十余年，卻在世界上大部分地區(qū)遭到失敗，其根本原因在于指導思想的錯誤。從認識論角度看，抽象思維能力的形成是以直觀的具體事物的觀察分析為基礎的。從感性的具體到理性的抽象，是一個思維發(fā)育的過程。數(shù)學教育不可能回避這個過程。如果不經(jīng)過對感性具體的觀察分析和對抽象思維能力本身的逐漸培育，單純地灌輸抽象思維的成果，即形式化的數(shù)學知識，那只能是建造“空中樓閣”，沒有不失敗的。形式主義學派力圖使數(shù)學抽象能力擺脫感性直觀的局限，這當然是對的。但片面地追求抽象化和形式化程度的提高，使形式主義者忽視了一個基本事實：數(shù)學研究和數(shù)學教學畢竟不是一回事。一個成熟的現(xiàn)代數(shù)學家可以完全擺脫感性直觀內(nèi)容來搞純形式的數(shù)學研究，但他是經(jīng)歷了一個相當長的思維發(fā)育過程才達到這一境地的。不可能幻想幼兒會一下子接受成年人的思想。同樣，現(xiàn)代的形式化成果對于中小學生來說也是不好消化的。當然，考慮到學生思維發(fā)育規(guī)律，適當加快培養(yǎng)學生抽象思維能力的過程，不僅可能而且必要。這一點后面還要論及。……TOP 其它信息 裝幀：精裝頁數(shù)：318 版次：2002年1月第2版開本：32開

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