數(shù)值分析

第一章 緒論
1 數(shù)值分析的對象與特點
2 誤差來源與誤差分析的重要性
3 誤差的基本概念
3—1 誤差與誤差限
3—2 相對誤差與相對誤差限
3—3 有效數(shù)字
3—4 數(shù)值運算的誤差估計
4 數(shù)值運算中誤差分析的方法與原則
習題
第二章 插值法
1 引言
2 拉格朗日插值
2—1 插值多項式的存在唯一性
2—2 線性插值與拋物插值
2—3 拉格朗日插值多項式
2—4 插值余項
3 逐次線性插值法
4 均差與牛頓插值公式
4—1 均差及其性質(zhì)
4—2 牛頓插值公式
5 差分與等距節(jié)點插值公式
5—1 差分及其性質(zhì)
5—2 等距節(jié)點插值公式
6 埃爾米特插值
7 分段低次插值
7—1 多項式插值的問題
7—2 分段線性插值
7—3 分段三次埃爾米特插值
8 三次樣條插值
8—1 三次樣條函數(shù)
8—2 三轉(zhuǎn)角方程
8—3 三彎矩方程
8—4 計算步驟與例題
8—5 三次樣條插值的收斂性
習題
第三章 函數(shù)逼近與計算
1 引言與預備知識
1—1 問題的提出
1—2 維爾斯特拉斯定理
1—3 連續(xù)函數(shù)空間C[a, b]
2 最佳一致逼近多項式
2—1 最佳一致逼近多項式的存在性
2—2 切比雪夫定理
2—3 最佳一次逼近多項式
2—4 里姆斯算法
3 最佳平方逼近
3—1 內(nèi)積空間
3—2 函數(shù)的最佳平方逼近
4 正交多項式
4—1 勒讓德多項式
4—2 切比雪夫多項式
4—3 其他常用的正交多項式
5 函數(shù)按正交多項式展開
6 近似最佳一致逼近多項式
6—1 截斷切比雪夫級數(shù)
6—2 拉格朗日插值余項的極小化
6—3 泰勒級數(shù)項數(shù)的節(jié)約
7 曲線擬合的最小二乘法
7—1 一般的最小二乘逼近
7—2 用正交函數(shù)作最小二乘擬合
7—3 多元最小二乘擬合
8 傅立葉逼近與快速傅立葉變換
8—1 最佳平方三角逼近與三角插值
8—2 快速傅氏變換 FFT
習題
第四章 數(shù)值積分與數(shù)值微分
1 引言
1—1 數(shù)值求積的基本思想
1—2 代數(shù)精度的概念
1—3 插值型的求積公式
2 牛頓—柯特斯公式
2—1 柯特斯系數(shù)
2—2 偶階求積公式的代數(shù)精度
2—3 幾種低階求積公式的余項
2—4 復化求積法及其收斂法
3 龍貝格算法
3—1 梯形法的遞推化
3—2 龍貝格公式
3—3 李查遜外推加速法
3—4 梯形法的余項展開式
4 高斯公式
4—1 高斯點
4—2 高斯—勒讓德公式
4—3 高斯公式的余項
4—4 高斯公式的穩(wěn)定性
4—5 帶權(quán)的高斯公式
5 數(shù)值微分
5—1 中點方法
5—2 插值型的求導公式
5—3 實用的五點公式
5—4 樣條求導
習題
第五章 常微分方程數(shù)值解法
1 引言
2 尤拉方法
2—1 尤拉公式
2—2 后退的尤拉公式
2—3 梯形公式
2—4 改進的尤拉公式
2—5 尤拉兩步公式
3 龍格—庫塔方法
3—1 泰勒級數(shù)法
3—2 龍格—庫塔方法的基本思想
3—3 二階龍格—庫塔方法
3—4 三階龍格—庫塔方法
3—5 四階龍格—庫塔方法
3—6 變步長的龍格—庫塔方法
4 單步法的收斂性和穩(wěn)定性
4—1 單步法的收斂性
4—2 單步法的穩(wěn)定性
5 線性多步法
5—1 基于數(shù)值積分的構(gòu)造方法
5—2 亞當姆斯顯式公式
5—3 亞當姆斯隱式公式
5—4 亞當姆斯預測—校正系統(tǒng)
5—5 基于泰勒展開的構(gòu)造方法
5—6 米爾尼公式
5—7 哈明公式
6 方程組與高階方程的情形
6—1 一階方程組
6—2 化高階方程組為一階方程組
7 邊值問題的數(shù)值解法
7—1 試射法
7—2 差分方程的建立
7—3 差分問題的可解性
7—4 差分方程的收斂性
習題
第六章 方程求根
1 根的搜索
1—1 逐步搜索法
1—2 二分法
2 迭代法
2—1 迭代過程的收斂性
2—2 迭代公式的加工
3 牛頓法
3—1 牛頓公式
3—2 牛頓法的幾何解釋
3—3 牛頓法的局部收斂性
3—4 牛頓法應用舉例
3—5 牛頓下山法
4 弦截法與拋物線法
4—1 弦截法
4—2 拋物線法
5 代數(shù)方程求根
5—1 多項式求值的秦九韶算法
5—2 代數(shù)方程的牛頓法
5—3 劈因子法
習題
第七章 解線性方程組的直接方法
1 引言
2 高斯消去法
2—1 高斯消去法
2—2 矩陣的三角分解
2—3 計算量
3 高斯主元素消去法
3—1 完全主元素消去法
3—2 列主元素消去法
3—3 高斯—若當消去法
4 高斯消去法的變形
4—1 直接三角分解法
4—2 平方根法
4—3 追趕法
5 向量和矩陣的范數(shù)
6 誤差分析
6—1 矩陣的條件數(shù)
6—2 舍入誤差
習題
第八章 解線性方程組的迭代法
1 引言
2 雅可比迭代法與高斯—塞德爾迭代法
2—1 雅可比迭代法
2—2 高斯—塞德爾迭代法
3 迭代法的收斂性
4 解線性方程組的超松弛迭代法
習題
第九章 矩陣的特征值與特征向量計算
1 引言
2 冪法及反冪法
2—1 冪法
2—2 加速方法
2—3 反冪法
3 雅可比方法
3—1 引言
3—2 雅可比方法
3—3 雅可比過關法
4 豪斯荷爾德方法
4—1 引言
4—2 用正交相似變換約化矩陣
5 QR算法
5—1 引言
5—2 QR算法
5—3 帶原點位移的QR方法
習題
部分習題答案