微分方程數(shù)值分析基礎教程

　　圖書簡介：數(shù)值分析向世界展現(xiàn)了它的不同面孔。對數(shù)學家而言，它是帶有應用性的純正的數(shù)學理論。對科技人員和工程師而言，它是實用的應用性學科，是建模工藝中典型技能的一部分。對計算機科學家而言，它是關于計算機結構與實數(shù)運算的算法之間相互影響的理論。正是這些觀點間的不同形成了寫這本書的動力。本書嚴格論述了常微分方程和偏微分方程數(shù)值分析的基本理論。出發(fā)點是數(shù)學的，但本書盡力保持在理論上、算法上和應用上的平衡。具體地，本書包含求常微分方程的數(shù)值解的多步法和龍格-庫塔方法；泊松方程的有限差分法和有限元法；各種解大型稀疏代數(shù)方程組的算法；解雙曲型和拋物型微分方程的數(shù)值方法以及分析的技巧。本書的附錄是一些數(shù)學知識點的簡要備份。英國劍橋大學教授Iserles博士注重基本知識：從最基本原理推得方法，用各種數(shù)學技術對這些方法進行分析，不時討論這些方法的實現(xiàn)和應用。他這樣做，使得讀者能在不忽略應用的情況下對這門課有理論上的理解。這樣就形成了一本在數(shù)學上誠實和嚴格的教材，為讀者在常微分方程和偏微分方程方面提供了很多技巧。前言人們常說，出書源自一種使命感，一種分享知識、經(jīng)驗和思想的愿望，一種對美的熱愛．本書的出版卻是源自一種挫折感．近10年，在劍橋以及其他地方，我一直從事數(shù)學專業(yè)學生的微分方程數(shù)值分析的教學．回顧這一漫長的實踐過程，總結其間的經(jīng)驗教訓，我得出了兩條結論，它們均對本書的選材及表述方式發(fā)揮了指導性的作用．第一條，數(shù)學家不同于其他領域的專家．你可能會發(fā)現(xiàn)，人們學習數(shù)值分析有各種各樣的原因．自然科學家和工程師把它當做一種手段、一個工具，用以探究那些真正使他們感興趣的東西．所以很自然，他們既不愿意花費時間，也不愿花費腦力去做精致的數(shù)學分析，而是喜歡你將數(shù)值方法像食譜一樣列出來，再加上些直覺的、淺顯的解釋．計算機科學家的態(tài)度則不同，他們更看重算法，致力于研究漂亮的算法及其與計算機構造的聯(lián)系，類似微分方程這樣的數(shù)學構造一旦情況允許（甚至更快）即被棄置一邊，代之以離散化的模型，然后用組合技術來研究．數(shù)學家則遵循另一種推理模式．通常學數(shù)學的學生在本科階段最后一年或研究生階段第一年參加一門高等數(shù)值分析課的學習．到那時候，他們所學的大部分內容都遵循著一個數(shù)學中熟知的形式推理模式：公理定理證明推論……而數(shù)值分析通常很難套用這一模式，這是許多學數(shù)學的學生覺得數(shù)值分析缺乏魅力的深層原因．所以，給數(shù)學系學生講數(shù)值分析往往令人感到兩難：如果完全上成數(shù)學理論的課程，會使學生感到智力上的愉悅，但應用方面就會欠缺；如果大量灌以應用方向的介紹，又很可能讓學生本末倒置，暈頭轉向．要解決這個問題并不很難，我們只需以誠實的數(shù)學態(tài)度來表述材料，偶爾轉向應用問題和算法，但永不失誠實和嚴密．如果一個證明要用到許多討論范圍之外的材料，完全可以略去這個證明．我們甚至可以用表面上的正確性連同實際應用中的好的運行記錄來說明一個數(shù)值方法的可行性，但表面上的正確性，好的運行記錄，直覺和淺顯的說明并非誠實的數(shù)學論證，而且也永遠不應當稱做數(shù)學論證．第二條，在數(shù)值分析這門課中，學生們應當既學常微分方程，又學偏微分方程，還有處理大規(guī)模稀疏代數(shù)方程組的方法．由于眾多數(shù)學課程的壓力，使得僅有少數(shù)本科生有可能參加多于一門的高等數(shù)值分析課的學習．而更多的人很可能在其未來的職業(yè)生涯中要用到微分方程數(shù)值解法．所以，如果將課程內容僅限于某一主題，比如常微分方程或有限元，雖然內容緊湊，重點明確，從長遠來看卻不是一個有益的方法．再重復一下，面向數(shù)學系學生的理想的微分方程數(shù)值分析課，應當具備數(shù)學的誠實和嚴密，并教給聽眾廣博的技能，既包括常微分方程方面的內容，也包括偏微分方程方面的內容．過去10年，我一直熱切地想要找到一本關于這門課程的令人滿意的教材，但沒有找到．關于其特定的專題，比如常微分方程數(shù)值解法、有限元、稀疏代數(shù)方程組的計算，都有許多好的教科書，也有幾本書涉及到各個專題，但遺憾的是，它們都相對缺乏數(shù)學的精致和嚴密．就我所知，還沒有哪本書能做到準確地為自己定位，并達到相應的成熟程度．我因而感到失望，這也是促成我寫這本書的主要原因．我們或許應當在此簡要回顧一下本書的主要特點．★我們選材的覆蓋面很廣：用多步法和龍格—庫塔法求常微分方程數(shù)值解；泊松方程的有限差分法及有限元法；泊松方程求解時出現(xiàn)的大型稀疏代數(shù)方程組的各種求解算法；最后，拋物型和雙曲型微分方程的方法及分析技巧．或許這本書可作為一本一年制快速課程的教材，也有可能很多教師只想講其中一部分內容，為了幫助他們（以及他們的學生）在數(shù)值“地雷陣”中順利前進，在本前言的后面附有一張流程圖，表明本書各部分的“鏈接”．沿中線以陰影標識的部分是核心內容：講這門課而忽略這些主題，那是說不過去的（當然，在每章內部適當?shù)貟x內容是合理的！）．無陰影標識的框是選修內容——這些主題的取舍依個人的選擇而定．它們均包含有價值的材料，但就其整體而言，或許超出了高等本科教材的覆蓋能力和范疇．★這是一本面向數(shù)學系學生的教材，也就是說，它不以計算機科學家、工程師或自然科學家為對象．如前所述，不同的學生群體關心不同的事情，有不同的思維模式和吸收知識的方式．所以，一本教材若想取悅所有讀者，則可能令所有讀者都失望．盡管如此，那些需要數(shù)值方面知識的非數(shù)學工作者仍可以從本書中受益，但應當指出，他們或許應當在他們職業(yè)生涯中稍微晚些時候再去鉆研這些，也就是當他們具備了適當?shù)膭訖C和背景知識的時候．關于本書的一個更為基本的限制就是它是一本教材，而不是學術論文或技巧集錦．特別需要強調，我們的使命不是讓人欣賞藝術展覽，或關注最新進展，同樣，我們也無意提供能對付任何問題和情況的萬能方法．★許多數(shù)學教材都有個惱人的毛病，解任何一個問題時都要不必要地羅列一大串方法和算法．因而不止有1個龍格—庫塔法，而是20個！可憐的讀者們面對著一大堆武器，卻往往沒有任何線索告訴他們應當選用其中的哪一個，以及為什么用它．本書中我們采取另一種方式：我們從支持算法的原理中推導出算法，這些原理是我們論證的中心，而不是算法本身．一旦這些原理被提煉出來，算法就成為數(shù)值分析中最容易的部分，像煙花般驟然盛開——真正的腦力挑戰(zhàn)在于數(shù)學的分析．這并不是說軟件的問題不重要或其體系的學術性相對較弱．我們在第5章中對這些問題予以關注，并且我必須趕快強調一下，好的軟件設計同定理的證明一樣具有挑戰(zhàn)性．事實上，對計算數(shù)學中分析方面的了解有助于正確鑒識軟件及應用中的困難．★數(shù)值分析的一個真正激動人心的特點，在于它廣泛運用多門數(shù)學學科的知識．如果你以為數(shù)值分析是逃避數(shù)學，是因為喜歡研究某些更“軟”些的東西而借它來取代研究數(shù)學，那你注定會大吃一驚．數(shù)值分析可能是最廣泛應用多種數(shù)學理論的學科，從基本的線性代數(shù)和微積分，直到泛函分析、微分拓撲、圖論、解析函數(shù)理論、非線性動力系統(tǒng)、數(shù)論、凸理論——這個單子可一直列下去．幾乎所有的現(xiàn)代數(shù)學理論都對數(shù)值分析研究給予啟發(fā)和幫助．因而，研究數(shù)值分析的人必須思維開放，隨時準備借用其他各種技巧——它可不是給閉門造車的人預備的！本書中我們著重討論那些啟發(fā)和豐富數(shù)值分析研究的各種數(shù)學理論．這不像乍聽起來那么簡單，因為來自不同大學的學生有不同的純數(shù)學知識，這一點我們不得不考慮．換言之，我們常常需要加以闡明，請那些數(shù)學基礎知識雄厚的讀者予以諒解——你們所需做的只是略過幾頁……★回憶一個數(shù)學概念和理解一個數(shù)學概念之間有很大的差別．在讀數(shù)學文章時我經(jīng)常碰到一些概念，很熟悉而且我過去肯定碰到過．然而，要考我背出其準確定義，我恐怕要考不及格．這種時候恰當?shù)?、正統(tǒng)的做法應當是暫時停下來，走到附近的數(shù)學圖書館查一下有關資料．坦白地講，雖然我有時確實這么做，但更多時候，我只是繼續(xù)讀下去．我有充分的理由相信不只我一個人這么做．本書中我增加了一個名為“相關數(shù)學知識約略導讀”的附錄，嘗試多少彌補上述情況帶來的不便．該附錄粗略地介紹了一些數(shù)學學科中的重要定義和定理——包括線性代數(shù)、初等泛函分析和逼近理論——學生們以前應當已接觸過這些內容，但很可能已被遺忘．這樣做的目的既不是要取代那些初等的數(shù)學課程，也不是提供數(shù)學補遺．如果你過于頻繁地翻到書尾去查找某個定義，那么，我的朋友，也許你最好還是停下來去專心地學習一下相關的學科，使用一本合適的教材．相類似，如果你總是遵循正統(tǒng)的做法，每有一點疑問就去查閱有關資料，請恕我勸你別那樣循規(guī)蹈矩．★寫數(shù)學文章的一個規(guī)矩是要指明援引資料的作者和出處．這不僅僅是為了滿足原作者的虛榮心，也是為了將文章記錄傳載下去，并使有興趣的讀者有機會查閱更進一步的資料．談到這兒，我不禁懷疑起那些在教材中連篇累牘到處標記引文出處的做法．其導致的情形可以想見，讀到一句“……假定x∈U，其中U是一個葉層器具［37］”，讀者就會去查閱一下參考文獻，找到“［37］”代表J.Bloggs發(fā)表于Pro.SDW的一篇論文，然后認出“Pro.SDW”代表“可微器具協(xié)會會議記錄”，然后走到圖書館，找到這本雜志的位置（它還真在書架上，而不是租出去了，或放錯了地方，或被偷了……）．如果是高深的數(shù)學學術論文，這樣做并不為過．但如果是本教材，這樣做就沒什么意義了．所以我所采取的做法是在正文中不標出處，而在每章后面專設一節(jié)叫做“注釋與參考文獻”，在其中簡要列出可能會對學生（和教師）有所幫助的更進一步的文獻．這些小節(jié)還有一個重要的作用．可能會有一些學生（也許我太樂觀了？）對該章內容感興趣，受到啟發(fā)而有意深入鉆研，為此，在每一節(jié)“注釋與參考文獻”之中我都簡要地介紹了相關領域的進一步發(fā)展、算法、分析的方法及其與其他數(shù)學分科的聯(lián)系．★表述的清晰與否常取決于所用的符號是否明了，因而，在全書中我們做如下約定：白體小寫斜體字母（a，b，c，α，β，γ，…）代表標量;黑體小寫斜體字母（a，b，c，α，β，γ，…）代表向量;白體大寫字母（A，B，C，…）代表算子．像i=-1和自然對數(shù)基底e這樣的數(shù)學常數(shù)以羅馬字體標記，而不用斜體字母，這遵從了英國的排字習慣，并有助于區(qū)分一個數(shù)學公式中的不同元素．如同所有原則均有例外一樣，我們的符號約定也有其例外情況．比如，在3.1節(jié)，我們按以往的習慣，用Pn和Tn分別代表勒讓德多項式和切比雪夫多項式：任何其他表示方法都會招致混淆．此外，亦如所有其他原則一樣，意義不明，含混不清之處大量存在．我曾盡力引導讀者調動其常識性的感覺來感知和理解這些說不清的地方．但不用說，這樣的理解具有相當?shù)闹饔^性．本書源自兩套簡縮的講稿：一套是面向第二組學生（劍橋數(shù)學本科階段最后一年）的；另一套是面向第三組學生（劍橋高級數(shù)學課程班）的．可是，將講稿擴充為一整本教科書的工作可不像做杯熱湯那樣簡單，不是濃汁加水攪攪再煮煮就完事大吉．寫這本書共花了我大半年時間，與此同時，還要進行其他日常的學術研究工作．手稿的大部分寫于1994年秋天，那時我正在加州理工學院（Caltech）休假，我很愿意在此感謝那里的許多好朋友的熱情款待，帕薩迪納的工作環(huán)境也非常之棒．一條熟知的計算機諺語說，九成的編程工作需九成的時間，剩下一成的編程工作仍需九成時間……編寫教材遵循類似的規(guī)律，回到劍橋我花了幾個月的時間把手稿讀了又讀．在此，要感謝眾多的朋友和同事，他們給予我非常重要的幫助：BradBaxter（皇家學院，倫敦），MartinBuhmann（瑞士理工學院，蘇黎世），YuChungChang（加州理工學院），StephenCowley（劍橋），GeorgeGoodsell（劍橋），MikeHolst（加州理工學院），HerbKeller（加州理工學院），YorkeLiu（劍橋），MichelleSchatzman（里昂），AndrewStuart（斯坦福），StefanVandewalle（盧文）和AntonellaZanna（劍橋）．他們中有些人讀了手稿并提出了意見．有些人提供了計算實例．有些人以此書稿為教材在其學生中進行教學實驗，并聽取學生的反饋意見．有些人提供了寶貴的見解，使我免于犯令人尷尬的錯誤．他們所有人都幫助我、鼓勵我，而且對我的缺點和個性寬容之至．盡管我誠心誠意盡了最大努力，書中一定還留有大大小小的錯誤、打印錯誤和不當之處．對此，他們均不負任何責任．也許應當在此再感謝另外兩位“朋友”，他們使寫書的過程大大簡化：Tex排版系統(tǒng)和Matlab軟件包．當今我們對數(shù)學排版系統(tǒng)習以為常，而常常忘了僅僅十年前數(shù)學文稿還是手寫的，然后再一遍遍打印，最終由出版社排版，每一道程序中都要進行艱難的校對．再說說Matlab，它是惟一能讓我們將辦公室變成一個計算、繪圖實驗室的工具，使我們能從計算機屏幕彈射出新的想法，使我們能夠制造出富含信息的圖形和動畫．自從咖啡被發(fā)現(xiàn)以來，還沒有哪樣非生物體給這么多的數(shù)學家?guī)磉@么大的快樂！劍橋出版社的編輯人員，特別是AlanHarvey，DavidTranah和RogerAstley，給予我們的幫助、友善和精誠合作，已遠遠超出了他們所應承擔的義務．文字編輯SusanParkinson作出了最高水平的工作，她的專業(yè)素養(yǎng)、勤奮和高雅的品位化解了眾多的錯誤，彌補了我的不足，奇跡般地為讀者鋪平了閱讀之路．很高興有機會在此向他們所有人致謝！最后，但絕不失半點誠意和敬意，要感謝我的妻子和最好的朋友——Dganit.她的鼓勵、建議和支持無法以數(shù)字來計量，謝謝您！我想把這本書獻給我的父母，Gisella和Israel.他們不是數(shù)學家，然而我從他們身上學到了那些促使我成為數(shù)學家的東西：對學術的熱愛和對美與藝術的崇拜．

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